QR分解

下列公式定义了QR分解：

m是矩阵A的行数，n是列数。Q是m行m列的酉矩阵。R是m行n列的上梯形矩阵。R₁是k行k列的上三角矩阵，k是m和n中的最小值，R₂是R的m行(n-m)列的子矩阵。0是(m-n)行n列的零矩阵。

通过QR分解可计算方阵的行列式。例如，考虑下列方程：det(A) = det(Q)*det(R)。Q是正交矩阵，满足|det(Q)| = 1。因此，下列方程成立：

也可使用QR分解求解线性方程Ax = b的最小二乘法，A为满秩且m ≥ n。例如，可考虑下列方程：

下列等式成立：

• 
• 
• Q₁的大小为m × n
• Q₂的大小为m行(m-n)列
• R₁的大小为n行n列。

min(||b – Ax||₂)由min(||Q₁^Tb – R₁x||₂)确定，通过求解R₁x = Q₁^Tb，可得到解x。