2D ANOVA

入力/出力

因子、水準、およびセル

因子とは、データを分類するための基準です。たとえば、個人の腹筋回数をカウントする場合、分類基準の1つは年齢です。年齢の場合、以下の水準に分類できます。

もう1つの考えられる因子は体重で、以下の水準に分類してみます。

ここで、観測を連続して行い、何回腹筋を繰り返すことができるかを調べるとします。ランダムに選択されたn人のサンプルを使用した場合、以下の結果が生成されたとします。

などです。

観測値を因子Aと因子Bの関数としてプロットした場合、これらの観測値は、因子Aは行、因子Bは列とした行列のセルに分類されます。各セルには最低1回の観測値が含まれている必要があり、同じ数の観測値が含まれている必要があります。

分散分析を実行するには、観測の配列Xの値として10、15、20、25、17、4を指定します。配列の指標Aには、各観測値を適用する因子Aの水準 (またはカテゴリ) を指定します。この場合、配列には値0、1、1、1、0、0が含まれます。

配列の指標Bには、各観測値が適用される因子Bの水準 (またはカテゴリ) を指定します。この場合、配列には値0、0、2、1、1、2が含まれます。最後に、因子Aでは2つの水準と因子Bでは3つの水準が可能であるため、A水準パラメータでは2の値、B水準パラメータでは3の値を渡します。

以下のモデルの1つを適用できます。Lは、指定された観測数/セルの値です。

• モデル1―交互作用がない固定効果、および各セルにつき1回の観測数 (因子AとBの指定された水準xとyにつき)。
• モデル2―交互作用がある固定効果、および各セルにつきL > 1の観測数。
• モデル3―相互作用がある固定効果モデルのいずれか、および各セルにつきL > 1の観測数。
• モデル4―交互作用がある変量効果、および各セルにつきL > 1の観測数。

2D ANOVA変量効果と固定効果

結論を引き出すために使用する水準の数が多く、すべての水準からサンプルできない場合、因子は変量効果です。したがって、ランダムに水準を選択して、すべての水準の一般化を求めます。結論を出すために使用するすべての水準からサンプルできる場合、因子は固定効果です。

入力パラメータA水準とB水準は、それぞれ因子AとBの水準の数を表すだけでなく、因子が変量または固定であるかどうかも表します。例えば、因子Aがランダムである場合、因子 Aのレベル 数を負に設定する。1つのセルに1つしか観察がない場合、 A レベルと Bレベルの 両方が正でなければならないことに注意。つまり、モデル1を使用します。

2D ANOVA統計モデル

x_pqr は、Aのp 番目の水準、Bのq 番目の水準におけるr^th 番目の観測値であるとします (r = 0, 1, ..., L –1)。

モデル1では、各観測値を4つの構成部分の和として表します。

モデル2、3、4では、各観測値を5つの構成部分の和として表します。

ここで、

• μは、総合平均応答 (全個体群の平均応答の平均) です。
• α_p は、要因Aの^p 番目のレベルの効果である（µ に等しい_p - ここでμ_p は，要因B のすべてのレベルにわたる要因Aの^p 番目のレベルの平均である)．
• β_q は，要因B の^q 番目のレベルの効果である（μ_q - μに等しい。_q は因子Aのすべての水準に対する因子Bの q^番目の 水準の平均である）。
• (αβ）_pq は，要因Aの^p 番目の水準と要因Bの^q 番目の水準との間の交互作用である（µに等しい_pq - に等しい）。_p + β_q) ここで、μ_pq は^pq 番目のセルの母平均である）。
• ε_pqr の偏差である。_pqr の母集団平均応答からの偏差である。

2D ANOVAの仮説

以下の各仮説は、因子または因子間の相互作用は実験結果への影響がないことを異なる方法で示します。このVIは、影響がないことを仮定して、この仮説を否定する証拠を求めます。以下は、3つの仮説の例です。

• (A）のα_{p σA²}= 0である．要因Aが固定であれば，すべての水準 pについて σA² = 0であり，要因Aがランダムであれば， σA² = 0である．
• (B）のβ_{q σB²}= 0である．要因Bが固定であれば，すべての水準 qに対して σB² = 0であり，要因Bがランダムであれば， σB² = 0である．
• (AB)は、(αβ)_{pq σA²}= 0 は，因子A と因子B の両方が固定であれば，すべての水準 p と q に対して0 であり，因子A または因子B のどちらかがランダムであれば，σA² = 0 である．(これはモデル1に適用されません。モデル1では相互作用がなく、関連付けらた出力パラメータは不要です。)

2D ANOVAにおける前提

「2D ANOVA」VIは、以下のことを前提にします。

• 各p、 q、 rについて、εが次のように仮定する。_pqr は，平均 0，分散 σ_e²の正規分布であるとする．
• Aのような因子が固定されている場合，Aの各レベルにおける測定の母集団は，平均αで正規分布していると仮定する_p + μ および分散_σA²で正規分布し，各水準でのすべての母集団が同じ分散を持つと仮定する．さらに、α_p の合計はゼロであるとする。Bに関しても、同じ前提に立ちます。
• Aのような要因がランダムである場合、A自体のレベルの影響α_pは，平均 0，分散 σ_e²で正規分布する確率変数であると仮定する．Bに関しても、同じ前提に立ちます。
• 交互作用（αβ）の効果に関連するAやBのような因子のすべてが_pq が固定されている場合，各レベルでの測定の母集団が平均 µ_pq と分散_σAB²を持つ正規分布であると仮定する．任意の固定 pに対して、(αβ)_pq の和がゼロになる。同様に、任意の固定 qについて、平均(αβ)_pq の和はゼロになる。
• 交互作用（αβ）の効果に関連するAとBのような因子のいずれかがある場合_pq が無作為である場合，効果が平均 0，分散_σAB²で正規分布する確率変数であると仮定する．Aが固定でBがランダムである場合、すべての pについて合計すると、任意の固定 qについて 平均σ_AB²の合計がゼロになることも仮定する。同様に，Bが固定でAがランダムである場合，すべての qについて合計すると，任意の固定 pについて 平均σ_AB²の合計がゼロになると仮定する．
• 確率変数として使用されるすべての効果は相互に独立していると仮定します。

2D ANOVAの一般的な方法

各モデルにおいて、VIは全集合平均からのデータの総変動の基準となる二乗総和 (tss) を二乗成分和の特定の数値に分解します。モデル1では、以下のようになります。

モデル2～4では、以下のようになります。

tssの各成分和は、特定の因子または因子間の相互作用に帰する変動の基準です。ここで、ssaは因子Aに帰する変動の基準、ssbは因子Bに帰する変動の基準、ssabは因子AおよびB間の相互作用に帰する変動の基準、sseは変量変動に帰する変動の基準です。モデル1ではssabの項がないことに注意してください。これは、相互作用がないことを意味します。

VIは、ssa、ssb、ssab、sseの各値をそれぞれの自由度で除算して、msa、msb、msab、mseの二乗平均値を求めます。因子Aなどの1つの因子が実験観測値に大きく影響する場合、その二乗平均値msaは比較的大きくなります。

2D ANOVAの仮説を検証する

各仮説では、VIは関連付けらたSig確率の計算に使用される数値fを計算します。例えば、仮説(A)の場合、αは_p = 0 という仮説(A)に対して、VIは次のように計算する。

ならば

ここで、

は、自由度がa –1および(a –1)(b –1)のF分布です。次に、確率sigA、sigB、sigABを使用して、関連付けられた仮説 (A)、(B)、(AB)を却下すべき場合を指定できます。

帰無仮説を却下すべき場合を判断するには、仮説ごとに有意性水準を選択します。この有意性水準は、仮説を誤って却下する確率です (一般に0.05が選択されます)。選択した有意性水準を関連付けられたSig確率の出力値と比較します。Sig確率が選択した有意性水準よりも低い場合、帰無仮説を却下してください。

たとえば，Aがランダム効果で，有意水準が0.05で，出力 sigAが 0.03の場合，仮説αA² = 0を棄却して，要因Aが実験観察に効果があると結論づけなければならない．

2D ANOVAの計算式

Aのp 番目の水準、およびBのq 番目の水準におけるr 番目の観測値をx_pqr とします (r = 0, 1, ..., L –1)。

計算式は、次のとおりです。

a = |A水準|

b = |B水準|

ならば

L > 1の場合、dofab = (a– 1)(b– 1)

L = 1の場合、dofab = 0

L > 1の場合、dofe = ab(L –1)

L = 1の場合、dofe = (a –1)(b –1)

B が固定されている場合、sigA =_{Prob{Fa - 1, ab(L - 1} ) > fa}。

Bがランダムであれば、sigA =_{Prob{Fa - 1, (a - 1)(b - 1)} > fa} とする。

sigB =確率{_{a - 1, ab(L - 1} ) > fb}（Aが固定されている場合

シグB =_確率 {a_{- 1, (a - 1)(b - 1} ) > fb}（Aがランダムである場合

sigAB = Prob{F_{(a – 1)(b – 1), ab(L – 1)} > fab}