Décomposition en QR

L'équation suivante définit la décomposition en QR :

où m est le nombre de lignes n est le nombre de colonnes dans A, Q est une matrice unitaire (m, m), R est une matrice trapézoïdale supérieure (m, n), R₁ est une matrice triangulaire (k, k) où k est le minimum de m et n, R₂ est une sous-matrice (m, n-m) de R et 0 est une matrice nulle (m-n, n).

Vous pouvez utiliser la décomposition QR pour calculer le déterminant d'une matrice carrée. Par exemple, on considère l'équation suivante : det(A) = det(Q)*det(R). Comme Q est orthogonale, on a |det(Q)| = 1. Par conséquent, l'égalité suivante est vraie :

Vous pouvez aussi utiliser une décomposition en QR pour résoudre le problème des moindres carrés d'une équation linéaire Ax = b quand A est de plein rang et m ≥ n. Par exemple, on considère l'équation suivante :

où ce qui suit est vrai :

• 
• 
• Q₁ est de type (m, n)
• La taille de Q₂ est (m, m-n)
• La taille de R₁ est (n, n)

Comme min(||b – Ax||₂) dépend de min(||Q₁^Tb – R₁x||₂), vous pouvez obtenir la solution x en résolvant la nouvelle équation linéaire suivante : R₁x = Q₁^Tb.