Singulärwertzerlegung
- Aktualisiert2025-07-30
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Berechnet die Singulärwertzerlegung (SVD) der m×n-Matrix A. Zur Bestimmung der Instanz des polymorphen VIs verbinden Sie Daten mit dem Eingang A oder wählen Sie die Instanz manuell aus.
Die Singulärwertzerlegung der Matrix A für reelle Werte ist durch folgende Gleichung definiert:
A = USVTDie Singulärwertzerlegung der Matrix A für komplexe Fälle wird durch folgende Gleichung definiert:
A = USVHIn diesen zwei Gleichungen sind die Spalten in U und V orthogonal und S ist eine Diagonalmatrix, deren Diagonalelemente die Singulärwerte von A in absteigender Reihenfolge sind.
Da die Singulärwerte der Matrix A nicht negative Quadratwurzeln der Eigenwerte von AHA sind, handelt es sich ausschließlich um nicht negative Werte. Die Diagonalmatrix S ist eindeutig für eine gegebene Matrix.
Wenn r der Rang von A ist, dann ist r die Anzahl der Singulärwerte von A ungleich 0. Außerdem gilt: die ersten r Spalten von U sind die normalen orthogonalen Basen des Spaltenraums von A und die ersten r Spalten von V die normalen orthogonalen Basen des Zeilenraums von A.
Mit der Singulärwertzerlegung können Probleme der linearen Algebra gelöst werden (z. B. Bildung der Pseudoinversen einer Matrix, Minimierung der Summe der Quadrate oder Matrix-Approximation). Daneben wird die Singulärwertzerlegung in Bildverarbeitungssoftware verwendet, z. B. bei der Komprimierung von Grafiken.