QR分解
- 更新日2025-07-30
- 3分で読める
ピボット列を使用して、または使用しないでAのQR分解を行います。A入力にデータを配線して自動的に使用する多態性インスタンスを決定するか、インスタンスを手動で選択します。
以下の式はQR分解を定義します。
ここで、mは行数、nはAの列数、Qはm x mのユニタリ行列、Rはm x nの上台形行列、R1はk x kの上台形行列です。ここで、kは mとnの最小値、R2はRのm x (n-m) の部分行列、0は (m-n) x nのゼロ行列です。
QR分解は正方行列の行列式を計算できます。たとえば、以下の式を検証してみます。det(A) = det(Q)*det(R)Qは直交のため、|det(Q)| = 1はTRUEです。したがって、以下もTRUEになります。
また、 Aが フルランクで m ≧ nのときの連立方程式Ax ＝ bの 最小二乗問題をQR分解で解くことができます。たとえば、以下の式について検証します。
ここで、以下はTRUEです。
- Q1のサイズはm x n
- Q2のサイズはm x (m-n)
- R1のサイズはn x n
min(||b – Ax||2) は、min(||Q1Tb – R1x||2) によって異なるため、R1x = Q1Tbの新しい式を解くことにより、解xを求められます。