Résoudre des équations linéaires

Soient A une matrice (m, n) qui représente la matrice en entrée, Y l'ensemble des m coefficients du vecteur connu et X l'ensemble des n éléments du vecteur solution qui résout le système :

Quand m > n, le système possède plus d'équations que d'inconnues et devient de ce fait un système surdéterminé. Comme la solution satisfaisant AX = Y peut ne pas exister, le VI recherche par la méthode des moindres carrés la solution X qui minimise ||AX – Y||.

Quand m < n, le système possède plus d'inconnues que d'équations et devient de ce fait un système sous-déterminé. Elle peut avoir une infinité de solutions qui satisfont AX = Y. Le VI trouve l'une de ces solutions.

Dans le cas où m = n, si A est une matrice non singulière (autrement dit, si aucune ligne ou colonne n'est respectivement une combinaison linéaire d'une autre ligne ou d'une autre colonne), vous pouvez résoudre le système pour X en décomposant la matrice A en entrée en ses matrices triangulaires inférieure et supérieure, L et U, telles que

et

peut être une alternative à la représentation du système originel. Veuillez noter que Z est lui aussi un vecteur à n éléments.

Les systèmes triangulaires sont faciles à résoudre en utilisant des techniques récursives. Par conséquent, quand vous obtenez les matrices L et U à partir de A, vous pouvez rechercher Z à partir du système LZ = Y et X à partir du système UX = Z.

Dans le cas où m ≠ n, A peut être décomposée en une matrice orthogonale Q et une matrice triangulaire supérieure R, telles que A = QR. Le système linéaire peut alors être représenté par QRX = Y. Vous pouvez alors résoudre RX = QTY.

Vous pouvez facilement résoudre ce système triangulaire pour obtenir x en utilisant des techniques récursives.

La mise en œuvre numérique de l'inversion de matrice est numériquement intensive et, en raison de sa nature récursive, elle est aussi particulièrement sensible aux erreurs d'arrondi introduites par le coprocesseur numérique à virgule flottante. Même si les calculs utilisent la précision maximale possible, le VI ne peut pas toujours résoudre le système.

Résoudre des équations linéaires complexes

Soient A une matrice (m, n) qui représente la matrice en entrée, Y l'ensemble des m éléments du vecteur connu et X l'ensemble des n éléments du vecteur solution qui résout le système :

Quand m > n, le système possède plus d'équations que d'inconnues et devient de ce fait un système surdéterminé. Comme la solution satisfaisant AX = Y peut ne pas exister, le VI recherche par la méthode des moindres carrés la solution X, qui minimise ||AX – Y||.

Quand m < n, le système possède plus d'inconnues que d'équations et devient de ce fait un système sous-déterminé. Elle peut avoir une infinité de solutions qui satisfont AX = Y. Le VI sélectionne ensuite l'une de ces solutions.

Quand m = n, si A est une matrice non singulière (autrement dit, si aucune ligne ou colonne n'est respectivement une combinaison linéaire d'une autre ligne ou colonne), vous pouvez résoudre le système pour X en décomposant la matrice en entrée A en ses matrices triangulaires inférieure et supérieure, L et U, telles que

et

peut être une alternative à la représentation du système originel. Veuillez noter que Z est lui aussi un vecteur à n éléments.

Les systèmes triangulaires sont faciles à résoudre en utilisant des techniques récursives. Par conséquent, quand vous obtenez les matrices L et U à partir de A, vous pouvez rechercher Z à partir du système LZ = Y et X à partir du système UX = Z.

Lorsque m ≠ n, A peut être décomposé en une matrice orthogonale Q et une matrice triangulaire supérieure R, de sorte que A = QR, et le système linéaire peut être représenté par QRX = Y. Vous pouvez alors résoudre RX =^QHY. Vous pouvez facilement résoudre ce système triangulaire pour obtenir X en utilisant des techniques récursives.

Exemples

Reportez-vous aux exemples de fichiers inclus avec LabVIEW suivants.

• labview\examples\Mathematics\Linear Algebra\Linear Algebra Calculator.vi