ANOVA 3D

Entrées/Sorties

Dans toute analyse de variance (ANOVA), vous recherchez l'évidence que les facteurs ou les interactions parmi les facteurs ont un effet significatif sur les résultats expérimentaux. Ce qui varie avec chaque modèle n'est autre que la méthode utilisée pour ce faire.

Effets d'ANOVA 3D fixés et aléatoires

Un facteur correspond à un effet aléatoire s'il possède une importante population de niveaux à propos desquels vous désirez émettre des conclusions mais tels que vous ne puissiez pas échantillonner à partir de tous les niveaux. C'est pourquoi vous échantillonnez les niveaux de manière aléatoire et espérez pouvoir effectuer une généralisation à tous les niveaux. Un facteur correspond à un effet si vous pouvez échantillonner à partir de tous les niveaux à propos desquels vous désirez émettre des conclusions.

Modèle statistique d'ANOVA 3D

Soit l'équation x_pqrs la s^ième observation aux p^ième, q^ième et r^ième niveaux de A, B et C, respectivement, où s = 0, 1, ..., L – 1. Exprimez chaque observation en tant que somme de huits composants. Par conséquent,

où :

• µ est la moyenne générale.
• α_p est l'effet moyen du^pième niveau du facteur A.
• β_q est l'effet moyen du^qème niveau du facteur B.
• γ_r est l'effet moyen du^rième niveau du facteur C.
• (αβ)_pq est l'interaction bifactorielle du^pième niveau du facteur A avec le^qième niveau du facteur B.
• (αγ)_pr est l'interaction bifactorielle du^pième niveau du facteur A avec le^rième niveau du facteur C.
• (βγ)_qr est l'interaction bifactorielle du^qème niveau du facteur B avec le^rème niveau du facteur C.
• (αβγ)_pqr est l'interaction à trois facteurs du^pième niveau du facteur A, du^qième niveau du facteur B et du^rième niveau du facteur C.
• ε_pqrs est une fluctuation aléatoire.

Hypothèses d'ANOVA 3D

Chacune des hypothèses suivantes correspond à une manière différente d'exprimer le fait qu'un facteur ou qu'une interaction parmi des facteurs n'a aucun effet sur les résultats expérimentaux. Ce VI considère qu'il n'existe aucun effet et recherche un élément permettant de contredire cette supposition. Voici les sept hypothèses :

• (A) que α_p = 0 pour tous les niveaux p si le facteur A est fixe, et que_σA²= 0 si le facteur A est aléatoire.
• (B) que β_q = 0 pour tous les niveaux q si le facteur B est fixe, et que_σB²= 0 si le facteur B est aléatoire.
• (C) que γ_r = 0 pour tous les niveaux r si le facteur C est fixe, et que_σC²= 0 si le facteur B est aléatoire.
• (AB) que (αβ)_pq = 0 pour tous les niveaux p et q si les facteurs A et B sont fixes, et que_σAB²= 0 si le facteur A ou B est aléatoire.
• (AC) que (αγ)_pr = 0 pour tous les niveaux p et q si les facteurs A et C sont fixes, et que_σAC²= 0 si le facteur A ou C est aléatoire.
• (BC) que (βγ)_qr = 0 pour tous les niveaux p et q si les facteurs B et C sont fixes, et que_σBC²= 0 si le facteur B ou C est aléatoire.
• (ABC) que (αβγ)_pqr = 0 pour tous les niveaux p, qet r si les facteurs A, B et C sont fixes, et que_σABC²= 0 si l'un des facteurs A, B ou C est aléatoire.

Hypothèses d'ANOVA 3D

Le VI ANOVA 3D fait les hypothèses suivantes :

• Supposons que pour chaque p, qet r, ε_pqrs est normalement distribué avec une moyenne de 0 et une variance de_σe².
• Si un facteur A est fixé, supposons que les populations de mesures à chaque niveau de A sont normalement distribuées avec une moyenne α_p + µ et une variance_σA²et que toutes les populations à chacun des niveaux ont la même variance. En outre, supposons que α_p sont égaux à zéro. Des suppositions semblables sont faites à propos de B et C.
• Si un facteur A est aléatoire, supposons que l'effet du niveau de A lui-même, α_pest une variable aléatoire normalement distribuée de moyenne 0 et de variance_σA². Des suppositions semblables sont faites à propos de B et C.
• Si certains des facteurs, tels que A et B, associés à l'effet d'une interaction sont (αβ)_pq fixes, supposons que les populations de mesures à chaque niveau de A et B sont normalement distribuées avec une moyenne µ + α_p + β_q + (αβ)_pq et de variance_σAB². Pour tout pfixé, les moyennes (αβ)_pq sont égales à zéro lorsque l'on fait la somme de tous les q. De même, pour tout qfixé, (αβ)_pq sont égales à zéro lorsqu'on les additionne sur tous les p.
• Si l'un des facteurs, tels que A et B, associés à l'effet d'une interaction (αβ)_pq sont aléatoires, supposons que l'effet est une variable aléatoire Normalement distribuée de moyenne 0 et de variance_σAB². Si A est fixe et B aléatoire, supposons que pour tout qfixe, les moyennes (αβ)_pq sont égales à zéro lorsqu'on les additionne sur tous les p. De même, si B est fixe et A aléatoire, supposons que pour tout p fixé, les moyennes (αβ)_pq sont égales à zéro lorsqu'on les additionne sur l'ensemble des q.
• On considère que tous les effets pris comme des variables aléatoires sont mutuellement indépendants.

Méthode générale d'ANOVA 3D

Dans chacun des modèles, le VI effectue une distribution de la somme totale des carrés, tss, une mesure de la variation totale des données provenant de la moyenne de la population générale, en un nombre de sommes de composants des carrés.

Chaque composant dans la somme tss est une mesure de la variation attribuée à un certain facteur ou à l'interaction entre les facteurs. Ici, ssa correspond à une mesure de la variation due au facteur A ; ssb correspond à une mesure de la variation due au facteur B ; ssc correspond à une mesure de la variation due au facteur C ; ssab correspond à une mesure de la variation due à l'interaction entre les facteurs A et B ; et ainsi de suite pour ssac, ssbc et ssabc. De plus, sse correspond à une mesure de la variation due à une fluctuation aléatoire. Le VI divise chacune d'entre elles par leurs propres degrés de liberté afin d'obtenir les moyennes correspondantes msa, msb, msc, msab, msac, msbc, msabc et eqm. Si, par exemple, le facteur A est à l'origine d'un puissant effet sur les observations expérimentales, alors msa sera relativement important.

Test des hypothèses d'ANOVA 3D

Pour chaque hypothèse, le VI calcule un nombre f qui est utilisé pour calculer la probabilité sig associée. Par exemple, pour l'hypothèse (A), selon laquelle (p = 0 pour tous les niveaux p), (A fixé), le VI calcule

alors

où

est une distribution F avec les degrés de liberté a – 1 et abc(L – 1). Vous pouvez alors utiliser les probabilités sigA, sigB, sigC et sigAB, ..., sigABC pour déterminer quand vous devez rejeter les hypothèses associées (A), (B), (C), (AB), ..., (ABC).

Comment savoir s'il faut rejeter l'hypothèse nulle ? Pour chaque hypothèse, vous devez choisir un niveau de signification. Ce niveau de signification représente la probabilité que vous voulez avoir de rejeter par erreur l'hypothèse (un choix courant est 0,05). Comparez votre niveau retenu de signification avec la sortie de la probabilité sig associée. Si la probabilité sig est inférieure au niveau de signification retenu, vous devez rejeter l'hypothèse nulle. Par exemple, si A est un effet aléatoire, que votre niveau de signification est de 0,05 et que sigA = 0,03, vous devez rejeter l'hypothèse selon laquelle_σA²= 0 et conclure que le facteur A a un effet sur les observations expérimentales.

Avec certains modèles, il n'existe aucun test approprié pour certaines hypothèses. Si tel est le cas, les paramètres de sortie directement impliqués dans le test de ces hypothèses sont –1,0.

Formules d'ANOVA 3D

Soit x_pqrs la s^ième observation aux p^ième, q^ième et r^ième niveaux de A, B et C respectivement, où s = 0, 1, ..., L – 1.

Soit

a = |niveaux A|

b = |niveaux B|

c = |C niveaux|

alors