ANOVA 2D

Entrées/Sorties

Facteurs, niveaux et cellules d'ANOVA 2D

Un facteur est un critère de catégorisation des données. Par exemple, si vous comptez le nombre d'abdominaux que des individus peuvent effectuer, un des critères de catégorisation est l'âge. Pour l'âge, vous pouvez avoir les niveaux suivants.

Un autre facteur possible est le poids, avec les niveaux suivants :

On suppose à présent une série d'observations pour voir combien d'abdominaux les personnes peuvent faire. Si on prend de façon aléatoire un échantillon de n personnes, on pourrait obtenir les résultats suivants :

et ainsi de suite.

Si vous tracez les observations en fonction des facteurs A et B, elles se rangent dans les cellules d'une matrice avec le facteur A en tant que lignes et le facteur B en tant que colonnes. Chaque cellule doit contenir au moins une observation et chacune d'entre elles doit contenir le même nombre d'observations.

Pour effectuer l'analyse de la variance, vous spécifiez un tableau X d'observations avec les valeurs 10, 15, 20, 25, 17 et 4. L'indice A du tableau spécifie le niveau (ou la catégorie) du facteur A auquel chaque observation s'applique. Dans ce cas, le tableau doit contenir les valeurs 0, 1, 1, 1, 0 et 0.

L'indice B spécifie le niveau (ou la catégorie) du facteur B auquel chaque observation s'applique. Dans ce cas, le tableau doit contenir les valeurs 0, 0, 2, 1, 1 et 2. Finalement, il existe deux niveaux possibles pour le facteur A et trois niveaux possibles pour le facteur B, de sorte que vous pouvez introduire une valeur de 2 pour les paramètres de niveaux A et une valeur de 3 pour les paramètres de niveaux B.

Vous pouvez appliquer n'importe lequel des modèles suivants, dans lesquels L correspond aux observations par cellule spécifiées :

• Modèle 1 : effets fixés sans interaction et une observation par cellule (respectivement par niveaux x et y spécifiés des facteurs A et B).
• Modèle 2 : effets fixés avec interaction et L > 1 observations par cellule.
• Modèle 3 : un des modèles d'effets mixtes avec interaction et L > 1 observations par cellule.
• Modèle 4 : effets aléatoires avec interaction et L > 1 observations par cellule.

Effets d'ANOVA 2D fixés et aléatoires

Un facteur correspond à un effet aléatoire s'il possède une importante population de niveaux à propos desquels vous désirez émettre des conclusions mais tels que vous ne puissiez pas échantillonner à partir de tous les niveaux. C'est pourquoi vous échantillonnez les niveaux de manière aléatoire et espérez pouvoir effectuer une généralisation à tous les niveaux. Un facteur correspond à un effet si vous pouvez échantillonner à partir de tous les niveaux à propos desquels vous désirez émettre des conclusions.

Les paramètres d'entrée de niveaux A et de niveaux B représentent respectivement le nombre de niveaux dans les facteurs A et B, que ces facteurs soient aléatoires ou fixés. Par exemple, si le facteur A est aléatoire, vous définissez les niveaux de A comme étant négatifs par rapport au nombre de niveaux du facteur A. Notez que s'il n'y a qu'une seule observation par cellule, les niveaux A et B doivent tous deux être positifs. C'est-à-dire, vous utilisez le modèle 1.

Modèle statistique d'ANOVA 1D

Soit x_pqr la r^ième observation aux p^ième et q^ième niveaux de A et B respectivement, où r = 0, 1, ..., L – 1.

Le modèle 1 exprime chaque observation en tant que somme de quatre composants.

Les modèles 2, 3 et 4 expriment chaque observation en tant que somme de cinq composants.

où :

• µ correspond à la réponse moyenne générale (la moyenne de la réponse pour toutes les populations).
• α_p est l'effet du^pième niveau du facteur A (égal à µ_p - µ où µ_p est la moyenne du^pième niveau du facteur A sur tous les niveaux du facteur B).
• β_q est l'effet du^qème niveau du facteur B (égal à µ_q - µ où µ_q est la moyenne du^qème niveau du facteur B sur tous les niveaux du facteur A).
• (αβ)_pq est l'interaction entre le^pième niveau du facteur A et le^qième niveau du facteur B (égale à µ_pq - (µ + α_p + β_q) où µ_pq est la moyenne de la population de la^pqème cellule).
• ε_pqr est l'écart de x_pqr par rapport à la réponse moyenne de la population pour la^pqe population.

Hypothèses d'ANOVA 2D

Chacune des hypothèses suivantes correspond à une manière différente d'exprimer le fait qu'un facteur ou qu'une interaction parmi des facteurs n'a aucun effet sur les résultats expérimentaux. Ce VI considère qu'il n'existe aucun effet et recherche un élément permettant de contredire cette supposition. Voici les trois hypothèses :

• (A) que α_p = 0 pour tous les niveaux p si le facteur A est fixe, et que_σA²= 0 si le facteur A est aléatoire.
• (B) que β_q = 0 pour tous les niveaux q si le facteur B est fixe, et que_σB²= 0 si le facteur B est aléatoire.
• (AB) que (αβ)_pq = 0 pour tous les niveaux p et q si les facteurs A et B sont fixes, et que_σA²= 0 si le facteur A ou le facteur B est aléatoire. (Ceci ne s'applique pas au modèle 1. Dans le modèle 1, il n'existe pas d'interaction et les paramètres de sortie associés sont superflus.)

Hypothèses d'ANOVA 2D

Le VI ANOVA 2D fait les hypothèses suivantes :

• Supposons que pour chaque p, qet r, ε_pqr est normalement distribué avec une moyenne de 0 et une variance de_σe².
• Si un facteur tel que A est fixé, supposons que les populations de mesures à chaque niveau de A sont normalement distribuées avec une moyenne α_p + µ et une variance_σA², et que toutes les populations à chacun des niveaux ont la même variance. En outre, supposons que α_p sont égaux à zéro. Des hypothèses semblables sont faites pour B.
• Si un facteur tel que A est aléatoire, supposons que l'effet du niveau de A lui-même, α_pest une variable aléatoire normalement distribuée de moyenne 0 et de variance_σe². Des hypothèses semblables sont faites pour B.
• Si tous les facteurs tels que A et B associés à l'effet d'une interaction (αβ)_pq sont fixés, supposons que les populations de mesures à chaque niveau sont normalement distribuées avec une moyenne µ_pq et une variance_σAB². Pour tout pfixe, (αβ)_pq sont égales à zéro, si l'on additionne toutes les q. De même, pour tout qfixé, les moyennes (αβ)_pq sont égales à zéro, si l'on fait la somme de tous les p.
• Si l'un des facteurs tels que A et B associés à l'effet d'une interaction (αβ)_pq sont aléatoires, supposons que l'effet est une variable aléatoire Normalement distribuée de moyenne 0 et de variance_σAB². Si A est fixe et B aléatoire, il faut également supposer que pour tout q fixé, la somme des moyennes_σAB²est égale à zéro, si l'on additionne tous les p. De même, si B est fixe mais que A est aléatoire, supposons que pour tout p fixé, la somme des moyennes_σAB²est égale à zéro, si l'on fait la somme de tous les q.
• On considère que tous les effets pris comme des variables aléatoires sont mutuellement indépendants.

Méthode générale d'ANOVA 2D

Dans chacun des modèles, le VI effectue une distribution de la somme totale des carrés, tss, une mesure de la variation totale des données provenant de la moyenne de la population générale, en un certain nombre de sommes de composants des carrés. Dans le modèle 1

alors que dans les modèles 2 à 4

Chaque composant de la somme dans tss est une mesure de la variation attribuée à un certain facteur ou à l'interaction parmi les facteurs. Ici, ssa correspond à une mesure de la variation due au facteur A, ssb correspond à une mesure de la variation due au facteur B, ssab correspond à une mesure de la variation due à l'interaction entre les facteurs A et B, et sse correspond à une mesure de la variation due à une fluctuation aléatoire. Veuillez noter qu'avec le modèle 1, il n'existe aucun terme ssab. C'est ce que sans interaction signifie.

Le VI divise chacune des valeurs ssa, ssb, ssab et sse par leurs propres degrés de liberté pour calculer les quantités quadratiques moyennes msa, msb, msab et eqm. Si un facteur, tel que le facteur A, possède un puissant effet sur les observations expérimentales, la moyenne quadratique respective msa sera relativement importante.

Test des hypothèses d'ANOVA 2D

Pour chaque hypothèse, le VI calcule un nombre f qui est utilisé pour calculer la probabilité sig associée. Par exemple, pour l'hypothèse (A), selon laquelle α_p = 0 pour tous les niveaux p, (A fixé), le VI calcule

alors

où

correspond à une distribution F avec des degrés de liberté a – 1 et (a – 1)(b – 1). Vous pouvez alors utiliser les probabilités sigA, sigB et sigAB pour déterminer quand vous devez rejeter les hypothèses associées (A), (B) et (AB).

Comment savoir s'il faut rejeter l'hypothèse nulle ? Pour chaque hypothèse, vous devez choisir un niveau de signification. Ce niveau de signification représente la probabilité que vous voulez avoir de rejeter par erreur l'hypothèse (un choix courant est 0,05). Comparez votre niveau retenu de signification avec la sortie de la probabilité sig associée. Si la probabilité sig est inférieure au niveau de signification retenu, vous devez rejeter l'hypothèse nulle.

Par exemple, si A est un effet aléatoire, que le niveau de signification choisi est de 0,05 et que le résultat sigA est de 0,03, vous devez rejeter l'hypothèse αA² = 0 et conclure que le facteur A a un effet sur les observations expérimentales.

Formules d'ANOVA 2D

Soit x_pqr la r^ième observation aux p^ième et q^ième niveaux de A et B respectivement, où r = 0, 1, …, L – 1.

Soit

a = |niveaux A|

b = |niveaux B|

alors

dofab = (a – 1)(b – 1) si L > 1

dofab = 0 si L = 1

dofe = ab(L – 1) si L > 1

dofe = (a – 1)(b – 1) si L = 1

sigA =_{Prob{Fa - 1, ab(L - 1)} > fa} si B est fixe

sigA =_{Prob{Fa - 1, (a - 1)(b - 1)} > fa} si B est aléatoire

sigB =_{Prob{Fa - 1, ab(L - 1} ) > fb} si A est fixe

sigB =_{Prob{Fa - 1, (a - 1)(b - 1} ) > fb} si A est aléatoire

sigAB = Prob{F_{(a – 1)(b – 1), ab(L – 1)} > fab}