행렬 균형

다음 유사 변환 중 하나 또는 양쪽 모두를 사용하여 행렬 A의 균형을 만들고 고유값과 고유벡터 계산의 정확도를 개선할 수 있습니다:

• 행렬 A를 상위 삼각형 형태의 블록으로 치환합니다.
• 행렬 A'를 스케일하여 행렬 A'₂₂의 노름을 감소시킵니다.

행렬 A 치환

다음 식은 행렬 A의 상위 삼각형 형태의 블록으로 치환을 정의합니다.

이 때 P는 치환 행렬, A'₁₁과 A'₃₃는 상위 삼각형, P^T는 P의 전치행렬입니다.

A'₁₁과 A'₃₃의 대각 원소는 A의 고유값입니다. 가운데 대각 블록 A'₂₂는 A'에 대해 열(행)의 낮은 인덱스에서 시작하여 열(행)의 높은 인덱스에서 끝납니다. A의 적절한 치환이 존재하지 않는 경우, 다음 조건은 참입니다:

• A'₂₂는 A의 전체입니다.
• 낮은 인덱스 = 0.
• 높은 인덱스 = n - 1.

행렬 A' 스케일링

다음 식은 행렬 A'₂₂의 노름을 감소시키기 위한 행렬 A' 의 스케일링을 정의합니다.

따라서 ||A"₂₂|| < ||A'₂₂||이 되며, 이에 따라 고유값과 고유벡터 계산의 정확도에 대한 반올림 에러의 영향을 감소시킵니다.

다음 블록다이어그램은 행렬 A의 고유값과 고유벡터를 계산하는 VI에 [행렬 균형] VI와 [원래의 고유벡터로 변환] VI를 사용하는 것을 나타냅니다.