コンボリューション

1Dコンボリューション

信号x(t)およびy(t)の線形コンボリューションは以下のように定義されます。

ここで、記号*は線形コンボリューションを意味します。

アルゴリズムがdirectの場合、VIは次の公式を使用して線形コンボリューションを個々に行い、X * Yの要素を取得します。

ここで、i = 0, 1, 2, … , M+N-2

また、h は X * Y です。

x_j = 0, j < 0 または j ≥ N

および

y_j = 0, j < 0、または j ≥ M。

アルゴリズムがfrequency domainの場合、このVIは次の手順を順に実行して線形コンボリューションを計算します。

• まず、以下の式で示すように、XとYの長さがM + N – 1となるように末尾を0でパッドします。

• 次に、以下の式に従って、X'とY'のフーリエ変換を実行します。

• さらに、X'(f)にY'(f)を乗算して、積の逆フーリエ変換を計算します。その結果が以下の式で示すようにXとYの線形コンボリューションです。

したがって、このVIは線形コンボリューションでなく巡回コンボリューションを計算します。ただし、x(t) * y(t)_N ⇔ X(f)Y(f)はフーリエ変換対であるため (x(t) * y(t)_Nはx(t)とy(t)の巡回コンボリューション)、巡回型のコンボリューションを作成できます。巡回コンボリューションの計算には、以下の図のようなブロックダイアグラムを使用できます。

2Dコンボリューション

アルゴリズムがdirectの場合、VIは次の公式を使用して入力行列XとYの2次元コンボリューションを計算します。

ここで、i = 0, 1, 2, … , M₁+M₂–2 および j = 0, 1, 2, … , N₁+N₂–2

また、h は X * Y です。

x(m,n)、m < 0 または m ≥ M₁ または n < 0 または n ≥ N₁

および

y(m,n) 、m < 0 または m ≥ M₂ または n < 0 または n ≥ N₂。

アルゴリズムがfrequency domainの場合、VIは次の手順を順に実行して2次元コンボリューションを計算します。

• 最初に、以下の式に示すように、このVIはサイズが (M₁ + M₂ – 1) x (N₁ + N₂ – 2)となるように、XとYの末尾をゼロでパッドします。

• 次に、以下の式に従って、X'とY'のフーリエ変換を実行します。

• さらに、X'(f)にY'(f)を乗算して、積の逆フーリエ変換を計算します。その結果は、以下の式で示すようにXとYの2次元コンボリューションとなります。

出力サイズは、以下の図に示すように出力行列X * Yのサイズを指定します。

1. full

   出力行列X * Yは、 (M₁+M₂–1)-x-(N₁+N₂–1) です。

2. size X

   画像処理を行う上で役立ちます。X がフィルタ処理する画像の場合、Y はコンボリューションカーネルと呼ばれる小さい行列です。X * Y は画像Xと同じサイズのフィルタ処理された画像です。出力M₁ x N₁行列は、出力サイズがfullの場合の出力行列の中心部分です。

3. compact

   出力サイズがfullまたはsize Xの場合、エッジ要素X * Yを計算するには、ゼロパディングが必要です。LabVIEWは、出力サイズがcompactの場合、これらのエッジ要素を削除します。出力(M₁–M₂+1) x (N₁–N₂+1)行列は、出力サイズがsize Xの場合に出力行列の中心部分になります。

サンプルプログラム

LabVIEWに含まれている以下のサンプルファイルを参照してください。

• labview\examples\Signal Processing\Signal Operation\Edge Detection with 2D Convolution.vi