3D-ANOVA

Ein-/Ausgänge

Bei allen ANOVA-VIs wird nach Beweisen gesucht, dass die Faktoren oder Interaktionen zwischen den Faktoren eine maßgebliche Auswirkung auf die Versuchsergebnisse haben. Bei jedem Modell wird dazu eine andere Methode verwendet.

Zufällige und feste Effekte

Ein Faktor ist ein Zufallseffekt, wenn eine große Grundgesamtheit von Levels vorhanden ist, aber nicht aus allen Levels eine Stichprobe entnommen werden kann. Daher erheben Sie zufällige Stichproben und hoffen, eine Verallgemeinerung für alle Levels erzielen zu können. Ein Faktor ist ein fester Effekt, wenn Sie aus allen Levels eine Stichprobe entnehmen können.

Statistisches Modell

Die Gleichung x_pqrs sei die s-te Beobachtung des p-ten, q-ten und r-ten Levels von A, B bzw. C, wobei s = 0, 1, ..., L – 1 ist. Jede Beobachtung wird als Summe von acht Komponenten ausgedrückt. Folglich gilt:

wobei

• µ der Gesamtmittelwert ist.
• α_p ist die durchschnittliche Auswirkung der^p-ten Stufe von Faktor A.
• β_q ist die durchschnittliche Auswirkung der^q-ten Stufe von Faktor B.
• γ_r ist die durchschnittliche Auswirkung der^r-ten Stufe des Faktors C.
• (αβ)_pq ist die zweifaktorielle Interaktion der^p-ten Stufe von Faktor A mit der^q-ten Stufe von Faktor B.
• (αγ)_pr ist die zweifaktorielle Interaktion der^p-ten Stufe von Faktor A mit der^r-ten Stufe von Faktor C.
• (βγ)_qr ist die zweifaktorielle Interaktion der^q-ten Stufe von Faktor B mit der^r-ten Stufe von Faktor C.
• (αβγ)_pqr ist die dreifache Interaktion der^p-ten Stufe von Faktor A, der^q-ten Stufe von Faktor B und der^r-ten Stufe von Faktor C.
• ε_pqrs ist eine zufällige Fluktuation.

Hypothesen

Jede der folgenden Hypothesen sagt auf andere Weise aus, dass ein Faktor oder eine Interaktion zwischen Faktoren keine Auswirkung auf experimentelle Ergebnisse hat. Bei diesem VI wird angenommen, dass es keine Auswirkungen gibt. Es werden dann Beweise gesucht, um diese Annahmen zu widerlegen. Die sieben Hypothesen sind die folgenden:

• (A), dass α_p = 0 für alle Niveaus p , wenn Faktor A fest ist, und dass_σA²= 0, wenn Faktor A zufällig ist.
• (B), dass β_q = 0 für alle Niveaus q , wenn Faktor B fest ist, und dass_σB²= 0, wenn Faktor B zufällig ist.
• (C) dass γ_r = 0 für alle Niveaus r , wenn der Faktor C fest ist, und dass_σC²= 0, wenn der Faktor B zufällig ist.
• (AB), dass (αβ)_pq = 0 für alle Niveaus p und q , wenn die Faktoren A und B fest sind, und dass_σAB²= 0, wenn entweder Faktor A oder B zufällig ist.
• (AC) dass (αγ)_pr = 0 für alle Niveaus p und q , wenn die Faktoren A und C fest sind, und dass_σAC²= 0, wenn entweder Faktor A oder C zufällig ist.
• (BC) dass (βγ)_qr = 0 für alle Niveaus p und q , wenn die Faktoren B und C fest sind, und dass_σBC²= 0, wenn entweder Faktor B oder C zufällig ist.
• (ABC) dass (αβγ)_pqr = 0 für alle Niveaus p, qund r , wenn die Faktoren A, B und C fest sind, und dass_σABC²= 0, wenn einer der Faktoren A, B oder C zufällig ist.

Annahmen

Für das VI "3D ANOVA" gelten folgende Bedingungen:

• Nehmen wir an, dass für jedes p, qund r, ε_pqrs normalverteilt ist mit Mittelwert 0 und Varianz_σe².
• Wenn ein Faktor A festgelegt ist, wird angenommen, dass die Grundgesamtheiten der Messungen auf jedem Niveau von A normalverteilt sind mit einem Mittelwert α_p + µ und Varianz_σA²normalverteilt sind und dass alle Populationen auf jedem Niveau die gleiche Varianz haben. Außerdem wird angenommen, dass α_p gleich Null ist. Analoge Annahmen gelten für B und C.
• Wenn ein Faktor A zufällig ist, nehmen wir an, dass der Effekt des Niveaus von A selbst, α_peine normalverteilte Zufallsvariable mit Mittelwert 0 und Varianz_σA²ist. Analoge Annahmen gelten für B und C.
• Wenn einige der Faktoren, wie z. B. A und B, die mit der Wirkung einer Interaktion verbunden sind, (αβ)_pq fixiert sind, dann nehmen wir an, dass die Populationen der Messungen auf jedem Niveau von A und B normalverteilt sind mit Mittelwert µ + α_p + β_q + (αβ)_pq und Varianz_σAB². Für jedes feste psind die Mittel (αβ)_pq bei der Summierung über alle qgleich Null. Analog dazu gilt für jedes feste q, dass (αβ)_pq bei der Summierung über alle pgleich Null.
• Wenn einer der Faktoren, z. B. A und B, mit der Wirkung einer Wechselwirkung (αβ) verbunden ist_pq zufällig sind, wird angenommen, dass der Effekt eine normalverteilte Zufallsvariable mit Mittelwert 0 und Varianz_σAB²ist. Wenn A fest, B aber zufällig ist, nehmen wir an, dass für jedes feste qdie Mittelwerte (αβ)_pq bei der Summierung über alle pgleich Null sind. Wenn B fest, A aber zufällig ist, ist anzunehmen, dass für jedes feste p die Mittelwerte (αβ)_pq bei der Summierung über alle qgleich Null sind.
• Es wird angenommen, dass alle Auswirkungen, die als Zufallsvariable angesehen werden, paarweise unabhängig sind.

Allgemeine Vorgehensweise

Bei sämtlichen Ereignissen wird die Gesamtsumme der Quadrate, tss, einem Maß für die Gesamtabweichung der Daten vom Gesamtmittelwert der Grundgesamtheit, in Teilsummen von Quadraten zerlegt.

Jede Teilsumme der Summe tss entspricht einem Maß für eine Abweichung, die auf einen bestimmten Faktor oder eine bestimmte Interaktion zwischen den Faktoren zurückgeht. Hier ist ssa ein Maß für die Abweichung aufgrund von Faktor A, ssb ein Maß für die Abweichung aufgrund von Faktor B, ssc ein Maß für die Abweichung aufgrund von Faktor c, ssab ein Maß für die Abweichung aufgrund der Interaktion zwischen Faktor A und B und so weiter für ssac, ssbc und ssabc. Des Weiteren ist sse ein Maß für die Abweichung aufgrund zufälliger Abweichung. Das VI dividiert die entsprechenden Werte durch die zugehörigen Freiheitsgrade, um die jeweiligen Durchschnittswerte msa, msb, msc, msab, msac, msbc, msabc und mse zu bestimmen. Wenn beispielsweise Faktor A eine starke Auswirkung auf die experimentellen Beobachtungen hat, ist msa relativ groß.

Prüfen der Hypothese

Für jede Hypothese berechnet das VI eine Zahl f, die verwendet wird, um die zugehörige Wahrscheinlichkeit sig zu bestimmen. Beispielsweise wird die Hypothese (A), nach der p für alle Level p gleich 0 ist (A entspricht festem Ereignis), nach folgender Gleichung berechnet:

dann

wobei

eine F-Verteilung mit den Freiheitsgraden a – 1 und abc(L – 1) ist. Sie können dann die Wahrscheinlichkeiten sigA, sigB, sigC, sigAB, …, sig ABC verwenden, um zu bestimmen, wann Sie die zugehörigen Hypothesen (A), (B), (C), (AB), ..., (ABC) verwerfen sollten.

Woran erkennen Sie, dass die Nullhypothese verworfen werden muss? Wählen Sie für jede Hypothese ein Signifikanzniveau aus. Damit wird die Wahrscheinlichkeit festgelegt, dass Sie die Hypothese fälschlicherweise verwerfen (im Allgemeinen wird der Wert 0,05 ausgewählt). Vergleichen Sie das ausgewählte Signifikanzniveau mit der ausgegebenen zugehörigen Wahrscheinlichkeit sig. Wenn die Wahrscheinlichkeit sig kleiner als das Signifikanzniveau ist, sollten Sie die Nullhypothese verwerfen. Wenn A beispielsweise ein zufälliger Effekt ist, das Signifikanzniveau 0,05 beträgt und sigA = 0,03 ist, müssen Sie die Hypothese_σA²= 0 zurückweisen und zu dem Schluss kommen, dass der Faktor A einen Einfluss auf die experimentellen Beobachtungen hat.

Bei einigen Modellen gibt es für manche Hypothesen keine Möglichkeit der Überprüfung. In dem Fall lauten die Ausgangsparameter, die unmittelbar mit der Prüfung dieser Hypothesen in Verbindung stehen, –1,0.

Formeln

Es sei x_pqrs die s-te Beobachtung des p-ten, q-ten und r-ten Levels von A, B bzw. C, wobei s = 0, 1, ..., L – 1 ist.

Es sei

a = |A Level|

b = |B Level|

c = |C Level|

dann