1D-ANOVA

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Aktualisiert2025-07-30
6 Minute(n) Lesezeit

Arbeitet mit einem Array X mit experimentellen Beobachtungen, die auf verschiedenen Leveln eines Faktors gemacht wurden (pro Level ist mindestens eine Beobachtung vorhanden). Es wird eine Einwegvarianzanalyse mit Hilfe des endlichen Modells durchgeführt, bei der das VI prüft, ob der Level des Faktors eine Auswirkung auf das experimentelle Ergebnis hat.

Ein-/Ausgänge

X —

X enthält alle Beobachtungsdaten.

Index —

Index enthält den Level, zu dem die entsprechende Beobachtung gehört.

Levelanzahl —

Levelanzahl entspricht der Gesamtanzahl der Level.

f —

f ist das Verhältnis f = msa/mse.

ssa —

ssa ist ein Maß für die Variation bezogen auf den Faktor.

sse —

sse ist das Maß für die Variation bezogen auf die zufällige Fluktuation.

mse —

mse ist die quadratische Mittelwertgröße bezogen auf sse. Sie wird ermittelt, indem sse durch seinen eigenen Freiheitsgrad dividiert wird.

msa —

msa ist die quadratische Mittelwertgröße bezogen auf ssa. Sie wird berechnet, indem ssa durch seinen Freiheitsgrad dividiert wird.

tss —

tss ist die Gesamtsumme der Quadrate, die als Maß für die Gesamtabweichung der Daten vom arithmetischen Mittelwert der Grundgesamtheit dient. tss = ssa + sse.

Fehler —

Fehler gibt alle Fehler oder Warnungen des VIs aus. Zur Umwandlung eines Fehlercodes oder einer Warnung in einen Fehler-Cluster verbinden Sie Fehler mit dem VI Fehler-Cluster aus Fehlercode.

Sig A —

Bei gegebenem f entspricht sig A der Wahrscheinlichkeit, dass Sie einen größeren Wert als f erhalten, wenn Sie eine Stichprobe aus einer F-Verteilung entnehmen.

Bei der Einwegvarianzanalyse prüft das VI, ob der Level des Faktors eine Auswirkung auf das experimentelle Ergebnis hat.

Faktoren und Level

Ein Faktor bildet die Grundlage für die Kategorisierung von Werten. Wenn Sie beispielsweise zählen möchten, wie häufig Probanden ihren Oberkörper aus der Rücklage aufrichten können, ist das Alter eine Grundlage für die Kategorisierung. Für das Alter könnten folgende Level gelten:


Level 0	6 bis 10 Jahre alt
Level 1	11 bis 15 Jahre alt
Level 2	16 bis 20 Jahre alt

Angenommen, Sie führen eine Reihe von Beobachtungen durch und erheben eine zufällige Stichprobe mit fünf Probanden. Das Ergebnis sieht dann möglicherweise so aus:


Proband 1	8 Jahre alt (Level 0)	10 Mal
Proband 2	12 Jahre alt (Level 1)	15 Mal
Proband 3	16 Jahre alt (Level 2)	20 Mal
Proband 4	20 Jahre alt (Level 2)	25 Mal
Proband 5	13 Jahre alt (Level 1)	17 Mal

Beachten Sie, dass Sie mindestens eine Beobachtung pro Level durchgeführt haben. Dasselbe ist auch für die Varianzanalyse erforderlich.

Sie stellen dazu die Beobachtungen in Form eines Arrays X mit den Werten 10, 15, 20, 25 und 17 bereit. Mit Hilfe des Arrays Index wird der Level (die Kategorie) festgelegt, für den die Beobachtung gilt. Im vorliegenden Fall hat der Index die Werte 0, 1, 2, 2 und 1. Insgesamt gibt es also drei mögliche Level, so dass Sie an den Eingang Anzahl der Level den Wert 3 übergeben müssen.

Statistisches Modell

Bei einer Varianzanalyse wird jedes experimentelle Ergebnis als dreiteilige Summe ausgedrückt. Es sei x_im die m-te Beobachtung im i-ten Level. Dann wird jede Beobachtung wie folgt geschrieben:

_xim = µ + α_i + ε_im

wobei µ der Gesamtmittelwert ist.

_αi ist die Auswirkung der^i-ten Stufe des Faktors, d. h. die Differenz zwischen dem Mittelwert der^i-ten Stufe α_i und dem Gesamtmittelwert

µ(µ_i) = µ + α_i

und ε_im ist eine zufällige Schwankung.

Hypothese

Dieses VI testet die Hypothese, dass α_i = 0 für i = 0, 1, ..., k - 1, wobei k die Anzahl der Stufenist. Anders ausgedrückt wird mit dieser Hypothese (auch Nullhypothese genannt) ausgesagt, dass kein Level das experimentelle Ergebnis beeinflusst, und es wird nach Widersprüchen gesucht.

Annahmen

Es wird angenommen, dass die Grundgesamtheiten der Messungen auf jeder Ebene normalverteilt sind mit dem Mittelwert µ_i und Varianz_σA², und angenommen, dass α_i gleich Null ist. Schließlich wird angenommen, dass für jedes i und mε_im normalverteilt ist mit Mittelwert 0 und Varianz_σA².

Allgemeine Vorgehensweise

Mit diesem VI wird die Gesamtsumme tss der Quadrate berechnet, die ein Maß für die Gesamtabweichung der Werte vom Gesamtmittelwert der Grundgesamtheit darstellt.

tss besteht aus zwei Teilen: ssa, einem Maß für die Veränderung bezogen auf den Faktor, und sse, einem Maß für die Veränderung bezogen auf die zufällige Fluktuation. Anders ausgedrückt,

tss = ssa + sse.

Mit dem VI werden die beiden quadratischen Mittelwertgrößen msa und mse aus ssa und sse berechnet, indem ssa und sse durch die eigenen Freiheitsgrade dividiert werden. Je größer msa in Bezug auf mse ist, desto größer ist die Auswirkung des Faktors auf das experimentelle Ergebnis.

Wenn die Nullhypothese zutrifft, wird der Quotient f = msa/mse einer F-Verteilung mit den Freiheitsgraden k – 1 und n – k entnommen. Daraus können die Wahrscheinlichkeiten berechnet werden. Bei gegebenem f entspricht sigA der Wahrscheinlichkeit, dass Sie einen größeren Wert als f erhalten, wenn Sie eine Stichprobe aus dieser Verteilung entnehmen.

Prüfen der 1D-ANOVA-Hypothese

Legen Sie fest, wann die Nullhypothese verworfen werden soll. Geben Sie dazu die Wahrscheinlichkeit an, mit der Sie die Nullhypothese fälschlicherweise verwerfen, obwohl sie eigentlich richtig ist. Das ist das Signifikanzniveau bzw. die Irrtumswahrscheinlichkeit, für die üblicherweise der Wert 0,05 verwendet wird. Der Ausgang sigA wird mit dem ausgewählten Signifikanzniveau verglichen, um festzustellen, ob die Nullhypothese akzeptiert oder verworfen wird. Wenn sigA kleiner als das ausgewählte Signifikanzniveau ist, verwerfen Sie die Nullhypothese. Sie müssen davon ausgehen, dass mindestens ein Level eine bestimmte Auswirkung auf das experimentelle Ergebnis hat.

Formeln

Es sei x_im gleich der m-ten Beobachtung, die auf dem i-ten Level für m = 0, 1, ..., n_i – 1 gemacht wurde, und i = 0, 1, ..., k – 1, wobei n_i die Anzahl der Beobachtungen auf dem i-ten Level und k die Levelanzahl ist.