Acquiring an Analog Signal: Bandwidth, Nyquist Sampling Theorem, and Aliasing

Visão geral

Learn about acquiring an analog signal, including topics such as bandwidth, amplitude error, rise time, sample rate, the Nyquist Sampling Theorem, aliasing, and resolution.

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O que é um digitalizador?   

Cientistas e engenheiros frequentemente utilizam digitalizadores para capturar dados analógicos no mundo real e convertê-los em sinais digitais, para análise. O digitalizador é um dispositivo que converte sinais analógicos em sinais digitais. Um dos digitalizadores mais comuns é o telefone celular, que converte a voz, um sinal analógico, em sinal digital, para enviá-la a outro telefone. Entretanto, em aplicações de teste e medição, o digitalizador normalmente é um osciloscópio ou um multímetro digital (DMM). As descrições abaixo são baseadas em osciloscópios, mas a maior parte delas é também aplicável a outros digitalizadores.

Independentemente do tipo, o digitalizador é vital para que o sistema possa reconstruir a forma de onda com exatidão. Para ter a certeza de que está escolhendo o melhor osciloscópio para a sua aplicação, leve em consideração a largura de banda, taxa de amostragem e resolução do osciloscópio.

 

Largura de banda

A entrada de um osciloscópio é formada por dois componentes: um percurso de entrada analógica e um conversor analógico-digital (ADC). O percurso de entrada analógica atenua, amplifica, filtra e/ou acopla o sinal para otimizá-lo, preparando-o para a digitalização realizada no ADC. O ADC amostra a forma de onda condicionada e converte o sinal da forma de onda da entrada analógica em valores digitais. A resposta em frequência do percurso de entrada provoca uma perda inerente na informação de amplitude e fase.

 

 

Figura 1. A largura de banda descreve a faixa de frequências do sinal de entrada que podem entrar pela entrada do osciloscópio. Essa entrada é formada por dois componentes: um percurso de entrada analógica e um ADC.

 

A largura de banda descreve a capacidade da entrada analógica de obter um sinal do mundo externo ao ADC com perda mínima de amplitude — da ponta de prova ou do suporte de teste até a entrada do ADC. Em outras palavras, a largura de banda descreve a faixa de frequências na qual o osciloscópio pode realizar medições com exatidão.

 

Ela é definida como a frequência na qual um sinal de entrada senoidal é atenuado em 70,7% de sua amplitude original, o que também é conhecido como ponto de -3 dB. As Figuras 2 e 3 mostram a resposta típica da entrada de um osciloscópio de 100 MHz.

 

Figura 2. Largura de banda é a banda na qual o sinal de entrada é atenuado em até 70,7% de sua amplitude original.

 

Figura 3. Esse gráfico indica que, em 100 MHz, o sinal de entrada atinge o ponto de -3 dB. 

 

A largura de banda é medida entre os pontos de frequência inferior e superior, nos quais a amplitude do sinal é atenuada em -3 dB. Isso pode parecer complicado, mas é na verdade relativamente simples.

 

Em primeiro lugar, calcule o seu valor de -3 dB.

 

Fórmula 1. Cálculo do ponto de -3 dB

 

Vin,pp é a tensão pico-a-pico do sinal de entrada e Vout,pp é a tensão pico-a-pico do sinal de saída. Por exemplo, se você introduzir uma onda senoidal de 1 V, a tensão de saída poderá ser calculada como  so .

 

Como o sinal de entrada é uma onda senoidal, há duas frequências nas quais o sinal de saída atinge esse valor de tensão, estas são as chamadas frequências de corte f1 e f2. Essas duas frequências são denominadas por diferentes nomes: frequência de corte, frequência de crossover, frequência de meia potência, frequência de 3 dB e frequência limite. Entretanto, todos esses termos fazem referência aos mesmos valores. A frequência central do sinal, f0, é a média geométrica de f1 e f2.

 

Fórmula 2. Cálculo da frequência central

 

Você pode calcular a largura de banda (BW) por subtração entre as duas frequências de corte.

 

Fórmula 3. Cálculo da largura de banda

 

 

 

Figura 4. Largura de banda, frequência de corte, frequência central e o ponto de 3 dB estão todos relacionados entre si.

 

Cálculo do erro de amplitude

Outra fórmula útil é a de erro de amplitude.

Fórmula 4. Cálculo do erro de amplitude

 

O erro de amplitude é expresso em porcentagem. Na fórmula acima, R é a relação entre a largura de banda do osciloscópio e a frequência do sinal de entrada (fin).

 

Usando o exemplo acima, você tem um osciloscópio de 100 MHz com um sinal de entrada senoidal de 100 MHz a 1 V e largura de banda de 100 MHz e fin = 100 MHz. Com esses valores, temos R = 1. Então você somente terá de resolver a fórmula:

O erro de amplitude calculado é 29,3%. Você poderá então determinar a tensão de saída para o sinal de 1 V:

É recomendado que a largura de banda de seu osciloscópio seja de 3 a 5 vezes a componente de maior frequência que você quer analisar no sinal medido, para que o sinal possa ser capturado com mínimo erro de amplitude. Por exemplo, para a onda senoidal de 100 MHz, você precisa utilizar um osciloscópio com largura de banda de 300 MHz a 500 MHz. Os erros de amplitude de um sinal de 100 MHz nessas larguras de banda seriam:

 

 

Cálculo do tempo de subida

Um osciloscópio precisa ter a largura de banda apropriada para poder medir o sinal com exatidão, mas também de tempo de subida suficiente para capturar com exatidão os detalhes de transições rápidas. Isso é principalmente aplicável à medição de sinais digitais tais como pulsos e degraus. O tempo de subida de um sinal de entrada é o tempo que o sinal leva para passar de 10% a 90% da amplitude máxima do sinal. Alguns osciloscópios utilizam os valores de 20% e 80%, então verifique o seu manual do usuário.

 

 

Figura 5. O tempo de subida de um sinal de entrada é o tempo que o sinal leva para passar de 10% a 90% da amplitude máxima do sinal.

 

O tempo de subida (Tr) pode ser calculado como:

Fórmula 5. Cálculo do tempo de subida

 

A constante k é dependente do osciloscópio. A maior parte dos osciloscópios com largura de banda menor que 1 GHz tipicamente tem k = 0,35. Osciloscópios com largura de banda acima de 1 GHz normalmente têm valor de k entre 0,4 e 0,45.

 

O tempo de subida teórico medido pode ser calculado a partir do tempo de subida do digitalizador e o tempo de subida real do sinal de entrada.

 

Fórmula 6. Cálculo de tempo de subida teórico

 

É recomendável que o tempo de subida na entrada do osciloscópio seja de 1/3 a 1/5 do tempo de subida do sinal medido, para que possamos capturar o sinal com erro mínimo de tempo de subida.

 

 

Taxa de amostragem

A taxa de amostragem não é diretamente relacionada à especificação de largura de banda. A taxa de amostragem é a frequência na qual o ADC converte a forma de onda da entrada analógica em dados digital. O osciloscópio amostra o sinal após as etapas de atenuação, ganho, filtragem e outras similares terem sido aplicadas na entrada analógica, convertendo a forma de onda resultante em uma representação digital. Esse instrumento faz essa amostragem em intervalos regulares, de maneira similar aos quadros de um filme. Quanto mais rápido o osciloscópio fizer amostras, maior será a resolução e os detalhes que podem ser vistos na forma de onda.  

 

Teorema de amostragem de Nyquist

O teorema de amostragem de Nyquist explica a relação entre a taxa de amostragem e a frequência do sinal medido. Esse teorema diz que a taxa de amostragem fs deve ser maior que o dobro da componente de maior frequência que você quer analisar no sinal medido. Essa frequência muitas vezes é chamada de frequência de Nyquist, fN.

Fórmula 7. A taxa de amostragem deve ser maior que duas vezes a frequência de Nyquist.

 

Para entender o motivo dessa exigência, observe a medição da onda senoidal em diferentes taxas. No caso A, a taxa de amostragem é igual à frequência da onda senoidal. Essas amostras são marcadas no sinal original à esquerda e, quando reconstruídas à direita, o sinal é visto incorretamente como uma tensão CC constante. No caso B, a taxa de amostragem é o dobro da frequência do sinal. A onda reconstruída agora é vista como uma forma de onda triangular. Nesse caso, f seria igual à frequência de Nyquist, que é a componente de maior frequência permitida para evitar o aliasing para uma dada frequência de amostragem. No caso C, a taxa de amostragem é 4f/3. Nesse caso, a frequência de Nyquist seria:

 

 

Como f está acima da frequência de Nyquist (), essa taxa de amostragem reproduzirá uma forma de onda com aliasing, de frequência e formato incorretos.

 

 

Figura 6. Uma taxa de amostragem baixa demais causa uma reconstrução incorreta da forma de onda.

 

Dessa forma, para a reconstrução correta da forma de onda, a taxa de amostragem fs deve ser maior que duas vezes a componente de maior frequência que você quer analisar no sinal medido. Normalmente, é uma boa ideia fazer amostragem em uma taxa aproximadamente cinco vezes maior que a frequência do sinal.

 

Aliasing

Você precisa fazer a amostragem a uma determinada taxa para evitar o aliasing, mas o que exatamente é o aliasing? Se um sinal for amostrado em uma taxa de amostragem menor que duas vezes a frequência de Nyquist, uma ou mais componentes de frequência mais baixa serão vistas nos dados amostrados. Esse fenômeno é conhecido como aliasing. A Figura 7 abaixo mostra uma onda senoidal de 800 kHz amostrada a 1 MS/s. A linha pontilhada indica o sinal com aliasing registrado nessa taxa de amostragem. O efeito de aliasing faz a frequência de 800 kHz ser representada incorretamente como uma onda senoidal de 200 kHz.

 

 

Figura 7. Aliasing provocado por uma taxa de amostragem baixa demais, resultando em uma representação incorreta da forma de onda.

 

A frequência de aliasing, fa, pode ser calculada, para sabermos como um sinal de entrada de frequência maior que a frequência de Nyquist será visualizado. Esse será o valor absoluto do múltiplo inteiro mais próximo da frequência de amostragem, menos a frequência do sinal de entrada.

 

Fórmula 8. Cálculo da frequência de aliasing

 

Por exemplo, considere uma frequência de amostragem de 100 Hz para um sinal de entrada que contém as seguintes frequências: 25 Hz, 70 Hz, 160 Hz e 510 Hz. As frequências abaixo da frequência de Nyquist de 50 Hz serão amostradas corretamente; as frequências acima de 50 Hz sofrerão aliasing.

 

Figura 8. Diferentes valores de frequência são medidos, alguns das frequências de aliasing, outros, das frequências reais da forma de onda.

 

Os cálculos das frequências de aliasing são:

Além de aumentar a taxa de amostragem, o aliasing também pode ser evitado pelo uso de um filtro antialiasing, um filtro passa-baixas que atenua quaisquer frequências do sinal de entrada maiores que a frequência de Nyquist. Esse filtro deve ser introduzido antes do ADC para evitar que a largura de banda do sinal de entrada viole o critério de amostragem. Os canais de entrada analógica podem ter filtros analógicos e digitais implementados no hardware, para ajudar a evitar o aliasing.

 

 

Resolução

Outro fator a ser considerado na seleção de um osciloscópio para uma aplicação é a resolução. Bits de resolução refere-se ao número de níveis verticais distintos que um osciloscópio pode utilizar para representar um sinal. Uma maneira de entender o conceito de resolução é comparando-a com uma régua. Divida uma régua de 1 metro em milímetros; qual será a resolução? A menor divisão dessa régua será a resolução — no caso, 1 em 1000.

 

A resolução de um ADC é determinada pelo número de partes nas quais o sinal máximo pode ser dividido. A resolução em amplitude é limitada pelo número de níveis de saída discretos que tiver o ADC. Um código binário representa cada uma dessas divisões; dessa forma, o número de níveis pode ser calculado como mostrado a seguir:

Fórmula 9. Cálculo dos níveis de saída discretos de um ADC

 

Por exemplo, um osciloscópio de 3 bits tem 23 níveis (oito). Da mesma forma, um osciloscópio de 16 bits terá 216 níveis (65.536). A menor variação de tensão detectável, ou largura de código, pode ser calculada como:

 

Fórmula 10. Cálculo da largura do código

 

A largura de código é também conhecida como bit menos significativo (LSB). Se a faixa de entrada do dispositivo for de 0 a 10 V, um osciloscópio de 3 bits terá uma largura de código de 10/8 = 1,25 V, enquanto que um osciloscópio de 16 bits terá uma largura de código de 10/65.536 = 305 μV. Essa pode ser uma grande diferença na maneira como o sinal é mostrado na tela.

           

Figura 9. Diferença na forma de onda com resoluções de 3 bits e 16 bits

 

A resolução necessária depende de sua aplicação; quanto maior a resolução, maior será o preço do osciloscópio. Lembre-se de que um osciloscópio com alta resolução não necessariamente terá alta exatidão. Entretanto, a exatidão que pode ser alcançada por um instrumento é limitada por sua resolução. A resolução limita a precisão de uma medição: quanto maior a resolução (número de bits), mais precisa será a medição.

 

Alguns osciloscópios utilizam um método chamado dithering para ajudar a suavizar os sinais e dar a impressão de uma maior resolução. No dithering , um pouco de ruído é incluído intencionalmente no sinal de entrada. Essa função atenua pequenas diferenças na resolução de amplitude. O princípio básico dessa função é incluir ruído aleatório de forma a fazer o sinal subir e descer repetidamente entre níveis sucessivos. Obviamente, isso por si só apenas faria o sinal ter mais ruído. Mas esse ruído é suavizado pela função de média aplicada digitalmente no sinal adquirido.

 

Figura 10. O dithering pode ajudar a suavizar um sinal.

 

Resumo

  • A largura de banda mostra a faixa de frequências que um osciloscópio pode medir com exatidão. Ela é definida como a frequência na qual um sinal de entrada senoidal é atenuado em 70,7% de sua amplitude original, o que também é conhecido como ponto de -3 dB.
  • A largura de banda é a diferença matemática entre as frequências de corte.
  • O erro de amplitude é a relação em porcentagem entre a largura de banda e as frequências do sinal de entrada, que ajuda a determinar o ruído em um sistema.
  • É recomendado que a largura de banda de seu osciloscópio seja de 3 a 5 vezes a componente de maior frequência que você quer analisar no sinal medido, para que o sinal possa ser capturado com mínimo erro de amplitude.
  • O tempo de subida de um sinal de entrada é o tempo que o sinal leva para passar de 10% a 90% da amplitude máxima do sinal.
  • É recomendável que o tempo de subida na entrada do osciloscópio seja de 1/3 a 1/5 do tempo de subida do sinal medido, para que possamos capturar o sinal com erro mínimo de tempo de subida.
  • A taxa de amostragem é a frequência na qual o ADC converte a forma de onda da entrada analógica em dados digital.
  • A taxa de amostragem deve ser pelo menos duas vezes a maior frequência que você quer analisar no sinal mas, na maior parte das vezes, deveria ser aproximadamente cinco vezes maior.
  • O aliasing é quando falsos componentes de frequência aparecem nos dados amostrados.
  • Bits de resolução refere-se ao número de níveis verticais distintos que um osciloscópio pode utilizar para representar um sinal.
  • Quanto maior a resolução de um instrumento, maior a precisão.

 

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