時間領域測定にデジタイザを使用する
概要
サンプリングレートに関する注意事項
サンプリングプロセスは、連続時間信号を離散時間信号に変換します。 ナイキストサンプリング定理は、サンプリングされたアナログ信号は、サンプリングレートが信号帯域幅の2倍以上であれば、サンプルから完全に再構成できるというものです。 つまり、エイリアシングを回避するために、信号はサンプリングレートの1/2未満に帯域制限する必要があります。
必要なサンプリングレート > 2 * 信号帯域幅
信号帯域幅は、正弦波（これは単に基本周波数）の場合、簡単に求めることができます。信号を完全に再構築するために必要な最小サンプリングレートは、基本周波数の2倍以上になります。 しかし、実際の信号は多くの場合、より複雑です。 たとえば、フーリエ理論では、デジタル信号は基本波の奇数高調波における一連の正弦波から構成されています。 これらの高調波は、基本周波数の10倍までの周波数で顕著であり、信号をデジタル化する際に考慮する必要があります。
ナイキスト定理に違反すると、高周波数成分は対象のスペクトル（パスバンド）内の周波数でエイリアスします。 残念ながら、信号がエイリアスされてスペクトルに戻ると、そのエイリアス成分を同じ周波数の元の信号成分から区別することはできません。 時間領域では、エイリアスされた信号は元の信号に非常によく似ていますが、信号測定は正しくありません（図1）。 このため、エイリアシングを防ぐことが非常に重要です。
図1. エイリアスされた信号は、時間領域では正確に表示されますが、エイリアスが発生すると信号測定が不正確になります。
ナイキストに従ってサンプリングすると、正しい周波数情報が表示されますが、補間を行わないと、時間領域の形状と振幅を正確に示すために、より高いレートでサンプリングする必要があります（図2）。
図2.信号帯域幅の1x、2x、および10xでのサンプルです。 2xは必要な信号の周波数情報のみを表示し、振幅や形状は表示しません。
図2から、正弦波周波数100 MHzの1倍でサンプリングすると情報が得られず、2x (200 MS/s) でサンプリングすると周波数は表示されますが、振幅や形状は表示されません。また、10xオーバーサンプリング (1 GS/s) では、周波数、振幅、形状が時間領域信号を正確に表すことがわかります。
要約すると、次のようになります。
- ナイキストサンプリング定理では、正確な信号再構成を行うためには、信号の帯域幅の2倍以上のレートで信号をサンプリングする必要があります。
- 2倍の信号帯域幅でサンプリングすると、周波数情報のみが保持され、振幅と形状は保持されません。
- 時間領域測定では、信号帯域幅よりも少なくとも10倍速いレートでサンプリングすると、信号の周波数、振幅、および形状を正確にキャプチャできます。
前述したように、ナイキストサンプリング定理は、ナイキスト条件が満たされれば信号がサンプルから完全に再構成できることを示します。 これは、再構成フィルタ (または補間) の使用を意味します。 補間については、後ほどナイキストよりも多くのタイミング分解能が必要な理由を説明します。
デジタイザ帯域幅に関する注意事項
サンプリングレートとともに、もう1つの重要なデジタイザ仕様はフロントエンド帯域幅です。 すべてのデジタイザおよびオシロスコープへの入力は、基本的にローパスフィルタです。 デジタイザの定格帯域幅未満の入力信号周波数は、デジタル化のためにフロントエンドを通過します。 理想的には、デジタイザの定格帯域幅を超える信号は除去され、測定に現れません。 実際には、完璧なローパスフィルタを設計することは不可能です。その結果、フロントエンドローパスフィルタを持つデジタイザやオシロスコープは、計測器の定格帯域幅を超える減衰周波数成分を通過します。
デジタイザの定格帯域幅では、入力信号周波数は3 dB減衰します。 これは、アナログ帯域幅が、デジタイザのフィルタ応答がDCに対して3 dBダウンする周波数として定義されているためです。 -3 dBポイントは、半電力ポイントと呼ばれます。
正弦波:
以下は、100 MHzにおける純粋な正弦波の周波数成分です。 信号は基本周波数で非常に大きなピークを持ち、スペクトルの他の部分では本質的にノイズです。 これは、正弦波がシングルトーンで、周波数領域でシングルインパルスであるためです。 時間領域で正弦波を正確に表すには、正弦波よりもわずかに高いデジタイザ帯域幅が必要です。
図3.正弦波の周波数成分です。 基本周波数での大きなスパイクに注目してください。
方形波:
方形波、および正弦波を除くその他の信号は、基本トーンにいくつかの高周波成分を加えたもので構成されます。 下は方形波信号の周波数領域です。 方形波を時間領域で適切に表すには、高周波数成分を集録するのに十分な帯域幅を持つデジタイザが必要です。 図5では、異なる帯域幅を持つシステムで測定された信号の影響を示しています。
図4. 多数の高周波成分を表示する方形波の周波数スペクトルです。
デジタイザの帯域幅が増加すると、デジタイザは信号形状をより適切に表現できるだけでなく、時間領域での信号測定の質も向上し、立ち上がり時間などの測定の精度も向上します。 デジタル信号など、高周波成分の多い信号では、必要なデジタイザ帯域幅を決定する最初のステップは、信号の帯域幅を決定することです。帯域幅は以下のように概算できます。
デジタル信号では、デジタイザの帯域幅は信号帯域幅の3～5倍である必要があります。 測定許容範囲が広いテストシステムでは、より低いデジタイザ帯域幅でもかまいませんが、信号の周波数成分の最低2倍の帯域幅を持つデジタイザを使用することが推奨されます。
図5. 方形波信号の時間領域表現に対するシステム帯域幅の影響。
補間とは
実際の信号は連続しているため、最速のデジタイザを使用しても信号を完全にサンプリングすることはできません。ただし、補間により、元の信号は離散時間サンプルから再構築できます。 デジタイザは通常、ハードウェアで補間を行いませんが、生データポイントを解析用に外部PCに転送した後、ソフトウェアで補間を適用することができます。
最も基本的な補間は線形補間です。 線形補間は、基本的に直線を使用してサンプル間の「ドットを連結」します。 入力信号の周波数よりも遥かに高いサンプリングレートでは、線形補間によってサンプリングされた信号が適切に表現されます（図6、グラフ3）。 ただし、より低いレートでサンプリングする場合、線形補間は信号の最適な表現を行いません（図6、グラフ2）。 最新のオシロスコープでは、信号の最適な時間領域再構成のために、sin(x)/x補間と呼ばれるより堅牢な補間方法が使用されます（図6、グラフ4）。これにより、オシロスコープはナイキスト定理に違反しない限り信号を完全に再構成できます。 実際、sin(x)/x補間を使用する場合、ナイキストレートを超えるレートでサンプリングしても利点はありません。sin(x)/x補間後、信号帯域幅の2.5倍のレートでサンプリングすると、信号帯域幅の10倍のレートでサンプリングした場合と同じ結果になります。
図6. グラフ上の点は、デジタイザで集録された未処理サンプルを示します。 線形補間は、信号の周波数よりもかなり高いサンプリングレートで信号を表します。
ほとんどのオシロスコープでは、補間を行うと、非補間データよりも優れた波形表示が得られるため、自動的に補間が行われます。 ただし、デジタイザはディスプレイ駆動型ではないため、デジタイザから集録されたデータは補間されません。ただし、補間はLabVIEWなどのソフトウェアツールを使用して事後に適用できます（図7）。
図7. LabVIEWの信号処理パレットには、波形調節VIのセットが含まれています。 「波形をリサンプリング」VIを使用して、信号の補間を実行できます。 サポートされている補間タイプには、FIR (sin(x)/x)、スプライン、線形、強制などがあります。