Utilisation d’un numériseur pour les mesures temporelles
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Considérations relatives à la fréquence d'échantillonnage
Le processus d'échantillonnage convertit un signal à temps continu en un signal à temps discret. Les ingénieurs connaissent le théorème d'échantillonnage de Nyquist, qui stipule qu'un signal analogique échantillonné peut être parfaitement reconstruit à partir des échantillons si la fréquence d'échantillonnage est supérieure à 2 fois la bande passante du signal. Autrement dit, pour éviter le repliement, le signal doit être parfaitement limité en bande à moins de 1⁄2 de la fréquence d'échantillonnage :
Fréquence d'échantillonnage requise > 2 * Bande passante du signal
La détermination de la bande passante du signal est simple lorsqu’il s’agit de signaux sinusoïdaux – il s’agit simplement de la fréquence fondamentale – et la fréquence d’échantillonnage minimale requise pour reconstruire parfaitement ce signal serait un peu plus de 2 fois la fréquence fondamentale. Cependant, les signaux du monde réel sont souvent plus complexes. Par exemple, selon la théorie de Fourier, nous savons que les signaux numériques sont composés d'une série d'ondes sinusoïdales à des harmoniques impaires de la fondamentale. Ces harmoniques, qui peuvent être significatives à des fréquences pouvant atteindre 10 fois la fréquence fondamentale, doivent être prises en compte lors de la numérisation du signal.
Si le théorème de Nyquist est violé, le contenu haute fréquence se repliera à une fréquence à l'intérieur du spectre d'intérêt (bande passante). Malheureusement, une fois qu'un signal est replié dans le spectre, il est impossible de distinguer cette composante repliée de toutes les composantes du signal d'origine à cette même fréquence. Dans le domaine temporel, le signal replié peut ressembler au signal d'origine, mais les mesures de signal seront incorrectes (Figure 1). C'est pourquoi il est si important de se prémunir contre le repliement.
Figure 1. Un signal replié peut sembler trompeusement correct dans le domaine temporel, mais le repliement entraînera des mesures de signal incorrectes.
L’échantillonnage selon Nyquist affichera les informations de fréquence correctes ; cependant, sans interpolation, nous devrons échantillonner à une fréquence beaucoup plus élevée pour montrer avec précision la forme et l’amplitude dans le domaine temporel (Figure 2).
Figure 2. Exemples d'échantillonnage à 1x, 2x et 10x de la bande passante du signal. Notez que 2x affiche uniquement les informations de fréquence du signal désiré, pas l'amplitude ou la forme.
Sur la figure 2, nous pouvons voir que l’échantillonnage à 1x de la fréquence du signal sinusoïdal de 100 MHz ne fournit aucune information ; l’échantillonnage à 2x (200 Méch./s) montre la fréquence, mais pas l’amplitude ou la forme ; et, le suréchantillonnage 10x (1 Géch./s) représente avec précision le signal temporel en termes de fréquence, d’amplitude et de forme.
En résumé :
- Le théorème d'échantillonnage de Nyquist requiert que pour une reconstruction précise du signal, un signal doit être échantillonné à une fréquence supérieure à 2 fois la bande passante du signal.
- L’échantillonnage au double de la bande passante du signal ne préserve que les informations de fréquence – l’amplitude et la forme ne seront pas conservées.
- Pour les mesures temporelles, l'échantillonnage à une fréquence au moins 10 fois plus rapide que la bande passante du signal capture avec précision la fréquence, l'amplitude et la forme du signal.
Comme décrit ci-dessus, le théorème d'échantillonnage de Nyquist dit qu'un signal peut être parfaitement reconstruit à partir d'échantillons si le critère de Nyquist est rempli. Cela implique l’utilisation d’un filtre de reconstruction, autrement appelé interpolation. Nous aborderons l’interpolation un peu plus tard lorsque nous examinerons les raisons pour lesquelles vous pourriez avoir besoin de plus de résolution de cadencement que ce que Nyquist fournit.
Considérations relatives à la bande passante du numériseur
Outre la fréquence d’échantillonnage, une autre spécification clé du numériseur est sa bande passante frontale. L'entrée de tous les numériseurs et oscilloscope est essentiellement un filtre passe-bas. Les fréquences du signal en entrée inférieures à la bande passante nominale du numériseur sont transmises par le frontal pour la numérisation. Idéalement, les signaux supérieurs à la bande passante nominale du numériseur sont rejetés et ne peuvent pas apparaître dans la mesure. En réalité, il est impossible de concevoir un filtre passe-bas parfait, ce qui produit des numériseurs et des oscilloscope dotés d’un filtre passe-bas frontal qui laissent passer des composantes de fréquence atténuées au-delà de la bande passante nominale de l’instrument.
À la bande passante nominale du numériseur, les fréquences du signal en entrée sont atténuées de 3 dB. En effet, la bande passante analogique est définie comme la fréquence à laquelle la réponse du filtre du numériseur est réduite de 3 dB par rapport à CC. Les points de -3 dB sont appelés points de demi-puissance.
Sinusoïdal :
Ci-dessous, nous pouvons voir les composantes fréquentielles d’un signal sinusoïdal pur à 100 MHz. Le signal a un pic très important à la fréquence fondamentale et est essentiellement du bruit pour le reste du spectre. En effet, un signal sinusoïdal n'est qu'un seul ton et est une seule impulsion dans le domaine fréquentiel. Pour représenter avec précision un signal sinusoïdal dans le domaine temporel, nous avons seulement besoin d'une bande passante du numériseur légèrement supérieure au signal sinusoïdal lui-même.
Figure 3. Composantes fréquentielles d'un signal sinusoïdal. Remarquez le pic important à la fréquence fondamentale.
Signal carré :
Le signal carré, et tout autre signal à l'exception d'un signal sinusoïdal, sera composé du ton fondamental plus quelques composantes haute fréquence supplémentaires. Ci-dessous, nous pouvons voir le domaine fréquentiel d’un signal carré. Afin de représenter correctement notre signal carré dans le domaine temporel, nous avons besoin d’un numériseur avec une bande passante suffisamment élevée pour capturer les composantes de fréquence les plus élevées d’intérêt. Dans la figure 5, nous pouvons voir les effets des signaux mesurés dans des systèmes avec différentes bandes passantes.
Figure 4. Spectre de fréquence d'un signal carré affichant un certain nombre de composantes haute fréquence.
À mesure que la bande passante du numériseur augmente, non seulement le numériseur est mieux capable de représenter la forme du signal, mais la qualité de la mesure du signal dans le domaine temporel augmente également, et les mesures telles que le temps de montée seront plus précises. Pour les signaux à contenu haute fréquence considérable, tels que les signaux numériques, la première étape pour déterminer la bande passante du numériseur requise consiste à déterminer la bande passante du signal, qui peut être approximée comme suit :
Pour les signaux numériques, une bonne règle générale est que la bande passante du numériseur doit être 3 à 5 fois supérieure à celle du signal. Pour les systèmes de test qui ont des tolérances de mesure plus larges, une bande passante de numériseur plus faible peut être acceptable, bien qu’il soit recommandé d’utiliser un numériseur avec une bande passante au moins deux fois supérieure à la composante de fréquence la plus élevée de votre signal.
Figure 5. Effets de la bande passante du système sur la représentation temporelle d'un signal carré.
Qu’est-ce que l’interpolation ?
Les signaux du monde réel sont de nature continue ; ainsi, même avec le numériseur le plus rapide, il serait impossible d’échantillonner complètement un signal. Cependant, par interpolation, le signal d'origine peut être reconstruit à partir des échantillons à temps discret. Bien que les numériseurs n'effectuent généralement pas d'interpolation dans le matériel, l'interpolation peut être appliquée dans le logiciel une fois que les points de données brutes ont été transférés à un PC externe pour analyse.
Le type d'interpolation le plus élémentaire est l'interpolation linéaire. L’interpolation linéaire « connecte les points » entre les échantillons en utilisant des lignes droites. Pour des fréquences d'échantillonnage beaucoup plus élevées que la fréquence du signal en entrée, l'interpolation linéaire fournira une bonne représentation du signal échantillonné (Figure 6, Graphe 3). Cependant, lors de l’échantillonnage à des fréquences plus basses, l’interpolation linéaire ne fournit pas la meilleure représentation du signal (Figure 6, Graphe 2). Pour la meilleure reconstruction temporelle d'un signal, les oscilloscope modernes utilisent une méthode d'interpolation plus robuste appelée interpolation sin(x)/x (Figure 6, Graphe 4), qui permet à l'oscilloscope de reconstruire parfaitement le signal étant donné que le théorème de Nyquist n'est pas violé. En fait, lorsque vous utilisez l’interpolation sin(x)/x, il n’y a aucun avantage à échantillonner à des fréquences supérieures à la fréquence de Nyquist : après l’interpolation sin(x)/x, l’échantillonnage à une fréquence 2,5 fois la bande passante du signal donnera le même résultat qu’un échantillonnage à une fréquence 10 fois la bande passante du signal.
Figure 6. Les points sur les graphes représentent les échantillons bruts acquis par le numériseur. L'interpolation linéaire représente bien le signal pour des fréquences d'échantillonnage beaucoup plus élevées que la fréquence du signal.
En ce qui concerne l’interpolation, la plupart des oscilloscope le feront automatiquement car cela crée un affichage de waveforms supérieur par rapport aux données non interpolées. Cependant, comme les numériseurs ne sont pas pilotés par affichage, les données recueillies à partir du numériseur ne sont pas interpolées, bien que l'interpolation puisse être appliquée après coup à l'aide d'outils logiciels tels que LabVIEW (figure 7).
Figure 7. La palette Traitement du signal dans LabVIEW comprend un ensemble de VIs de conditionnement de waveforms. Le VI de rééchantillonnage des waveforms peut être utilisé pour effectuer une interpolation sur un signal. Les types d'interpolation supportés sont RIF (sin(x)/x), spline, linéaire et coercition.