Comprender FFTs y Funciones Ventana

Visión General

Aprenda sobre los dominios del tiempo y frecuencia, transformaciones rápidas de Fourier (FFT) y funciones ventana, además aprenda cómo puede emplearles para comprender mejor su señal. Este tutorial es parte de la serie Fundamentos de Instrumentos.

Contenido

Comprender el Dominio del Tiempo, Dominio de Frecuencia y FFT

La transformada de Fourier puede ser muy eficaz para comprender las señales de todos los días y para resolver errores en las señales. Aunque la transformada de Fourier es una función matemática complicada, no es un concepto difícil de comprender y de relacionar con sus señales medidas. Esencialmente, toma una señal y la descompone en ondas sinusoidales de diferentes amplitudes y frecuencias. Hagamos un análisis más profundo de lo que esto significa y por qué es útil.

 

Todas las Señales son la Suma de los Senos

Al examinar señales del mundo real, usted por lo general las ve como un voltaje cambiando con el tiempo. Esto se denomina como el dominio del tiempo. El teorema de Fourier afirma que cualquier forma de onda en el dominio del tiempo puede ser representada por la suma acumulada de senos y cosenos. Por ejemplo, realice dos ondas sinusoidales, donde una es tres veces más rápido que la otra o la frecuencia es de 1/3 de la primera señal. Cuando las añade, puede ver que obtiene una señal diferente.

 

 

 Figura 1. Cuando añade dos señales, obtiene una nueva señal.

 

 

Ahora imagine si esa segunda onda también fuera 1/3 de la amplitud. Esta vez, solamente los picos son afectados.

 

 

Figura 2. Ajustar la amplitud al añadir señales afecta los picos.

 

 

Imagine que añade una tercera señal que era 1/5 de la amplitud y frecuencia de la señal original. Si usted continuó de esta manera hasta que llega al ruido de planta, probablemente reconocerá la forma de onda resultante.

 

 

 

Figura 3. Una onda cuadrada es la suma de senos.

 

 

Ahora ha creado una onda cuadrada. De esta manera, todas las señales en el dominio del tiempo pueden ser representadas por una serie de senos.

 

Aunque es bastante bueno que usted puede construir señales de esta manera, ¿por qué importa? Porque si usted construye una señal usando senos, también puede deconstruir señales en senos. Una vez que se deconstruye una señal, usted puede ver y analizar las diferentes frecuencias que están presentes en la señal original. Eche un vistazo a algunos ejemplos en los que ha demostrado que es útil deconstruir una señal:

 

      • Si usted deconstruye ondas de radio, puede elegir qué frecuencia en particular, o estación desea escuchar.
      • Si usted deconstruye ondas de audio en diferentes frecuencias como graves y agudos, puede alterar los tonos o frecuencias para impulsar ciertos sonidos y eliminar el ruido no deseado.
      • Si usted deconstruye las vibraciones sísmicas de diferentes velocidades y fuerzas, puede optimizar el diseño de edificios para evitar las vibraciones más fuertes.
      • Si usted deconstruye datos de cómputo, puede ignorar las frecuencias menos importantes y dar lugar a representaciones más compactas en la memoria, también conocida como compresión de archivos.

 

 

Deconstruir Señales Usando la FFT

La transformada de Fourier deconstruye una representación en el dominio de tiempo de una señal en la representación del dominio de frecuencia. El dominio de frecuencia muestra los voltajes presentes en diferentes frecuencias. Es una manera diferente de ver la misma señal.  

 

Un digitalizador muestrea una forma de onda y la transforma en valores discretos. Debido a esta transformación, la transformada de Fourier no funcionará con estos datos. En cambio, se utiliza la transformada de Fourier discreta (DFT), que se produce como el resultado de sus componentes de dominio de frecuencia en valores discretos o bins. La transformada rápida de Fourier (FFT) es una implementación optimizada de un DFT que implica menos cómputo para llevarse a cabo, pero simplemente deconstruye una señal.

 

Eche un vistazo a la señal de la Figura 1 arriba. Hay dos señales en dos frecuencias diferentes; en este caso, la señal tiene dos picos en el dominio de frecuencia, una en cada una de las dos frecuencias de los senos que componían la señal en primer lugar.

 

Figura 4. Cuando dos ondas sinusoidales de igual amplitud son añadidas, resultan en dos picos en el dominio de frecuencia.

 

 

La amplitud de la señal original es representada en el eje vertical. En la señal de la Figura 2 arriba, donde hay dos señales diferentes en diferentes amplitudes, puede ver que el pico más sobresaliente corresponde a la frecuencia de la señal sinusoidal de voltaje más alto. Al ver una señal en el dominio del tiempo, puede tener una buena idea de la señal original al saber en qué frecuencias ocurren las señales del voltaje más alto.

 

Figura 5. El pico más alto es la frecuencia de la amplitud más grande.

 

 

También puede ser útil ver la forma de la señal en el dominio de frecuencia. Por ejemplo, echemos un vistazo a la onda cuadrada en el dominio de frecuencia. Hemos creado la onda cuadrada usando muchas ondas sinusoidales a distintas frecuencias; como tal, usted puede esperar muchos picos en la señal en el dominio de frecuencia, uno para cada señal añadida. Si usted ve una rampa agradable en el dominio de frecuencia, sabe que la señal original era una onda cuadrada .

 

 

Figura 6. El dominio de frecuencia de una onda sinusoidal se ve como una rampa.

 

 

Entonces, ¿cómo se ve esto en el mundo real?. Muchos osciloscopios de señal-mixta (MSO) tienen una función FFT. A continuación usted puede ver que una FFT de una onda cuadrada se ve como una gráfica de señal mixta. Si se acerca, puede ver los picos individuales en el dominio de frecuencia.

 

 

Figura 7. La onda sinusoidal original y su FFT correspondiente son mostrados en la imagen superior y la imagen inferior es un acercamiento de la porción del FFT en la que usted ve los picos individuales.

 

 

Ver las señales en el dominio de frecuencia puede ayudar al validar o depurar señales. Por ejemplo, supongamos que tiene un circuito que se supone que emite una onda sinusoidal. Usted puede ver la señal de salida en el osciloscopio en el dominio del tiempo en la Figura 8 a continuación. Se ve mucho mejor.

 

Figura 8. Si se añaden estas dos ondas, se verían como una onda sinusoidal perfecta, ya que son similares.

 

 

Sin embargo, cuando usted ve la señal en el dominio de frecuencia, usted solamente espera un pico porque está esperando emitir una sola onda sinusoidal a una sola frecuencia. Sin embargo, usted puede ver que hay un pico más pequeño en una frecuencia más alta; esto le indica que la onda sinusoidal no es tan buena como se pensaba. Usted puede trabajar con el circuito para eliminar la causa del ruido añadido en esa frecuencia en particular. El dominio de frecuencia es muy bueno para mostrar si una señal limpia en el dominio del tiempo en realidad contiene interferencia, ruido o fluctuación.

 

Figura 9. Usted puede ver que en la onda sinusoidal aparentemente perfecta en la Figura 8, en realidad existe una falla.

 

 

Funciones Ventana

Aunque realizar una FFT de una señal puede proporcionar una buena comprensión, es importante conocer las limitaciones de la FFT y cómo mejorar la claridad de la señal usando Funciones Ventana.

 

 

¿Qué son las Funciones Ventana?

Cuando se utiliza la FFT para medir el componente de frecuencia de una señal, usted está basando el análisis en un conjunto finito de datos. La transformada FFT real asume que es un conjunto finito de datos, un espectro continuo que es un periodo de una señal periódica. Para la FFT, tanto el dominio del tiempo como el dominio de frecuencia son topologías circulares, por lo que los dos extremos de la forma de onda de tiempo son interpretados como si estuvieran conectados entre sí. Cuando la señal medida es periódica y un número entero de periodos llena el intervalo de tiempo de adquisición, la FFT resulta bien, ya que coincide con esta suposición.


Figura 10. La medida de un número entero de periodos (arriba) brinda una FFT ideal (abajo).

 

 

Sin embargo, muchas veces, la señal medida no es un número entero de periodos. Por lo tanto, la finitud de la señal medida puede dar lugar a una forma de onda truncada con diferentes características a la señal de tiempo continuo original y la finitud puede introducir cambios de transición brusca en la señal medida. Las transiciones bruscas son discontinuidades.

 

Cuando el número de períodos en la adquisición no es un entero, los extremos son discontinuos. Estas discontinuidades artificiales se muestran en la FFT como componentes de alta frecuencia que no se presentan en la señal original. Estas frecuencias pueden ser mucho más altas que la frecuencia de Nyquist y son escalonadas entre 0 y la mitad de su velocidad de muestreo. El espectro se obtiene al usar una FFT, por lo tanto, no es el espectro real de la señal original, sino una versión distorsionada. Parece como si la energía en una frecuencia se fuga a otras frecuencias. Este fenómeno se conoce como la fuga espectral, lo que hace que las líneas espectrales finas se difundan en señales más amplias.

 

Figura 11. Medir un número no entero de periodos (arriba) añade fuga espectral a la FFT (abajo).

 

 

Puede minimizar los efectos de realizar una FFT sobre un número no entero de ciclos al usar una técnica llamada de funciones ventana. Las ventanas reducen la amplitud de las discontinuidades en los límites de cada secuencia finita adquirida por el digitalizador. Consisten en multiplicar el registro de tiempo por una ventana de longitud finita con una amplitud que varía poco a poco hacia cero en los bordes. Esto hace que los extremos de la forma de onda se encuentren y por lo tanto, da como resultado una forma de onda continua y sin transiciones bruscas. Esta técnica también se conoce como aplicar una ventana.

 

Figura 12. Aplicar una ventana minimiza el efecto de la fuga espectral.

 

 

Funciones Ventana

Hay diferentes tipos de funciones de ventana que usted puede aplicar dependiendo de la señal. Para comprender cómo una ventana determinada afecta al espectro de frecuencia, usted necesita comprender más sobre las características de frecuencia de las ventanas.

 

Una gráfica real de una ventana muestra que la característica de frecuencia de una ventana es un espectro continuo con un lóbulo principal y varios lóbulos laterales. El lóbulo principal se centra en cada componente de frecuencia de la señal de dominio del tiempo y los lóbulos laterales se aproximan a cero. La altura de los lóbulos laterales indica el efecto que la función de ventanas tiene en las frecuencias alrededor de los lóbulos principales. La respuesta del lóbulo lateral de una señal sinusoidal fuerte puede dominar la respuesta del lóbulo principal de una señal sinusoidal débil cercana. Por lo general, los lóbulos laterales más bajos reducen la fuga en la FFT medida, pero aumentan el ancho de banda del lóbulo mayor. El rango de corte del lóbulo lateral es el rango de caída asintótica de los picos del lóbulo lateral. Al aumentar el rango de caída del lóbulo lateral, usted puede reducir la fuga espectral.

 

Seleccionar una función de ventana no es una tarea simple. Cada función de ventana tiene sus propias características y aptitud para diferentes aplicaciones. Para elegir una función de ventana, usted debe calcular el contenido de la frecuencia de la señal.

      • Si la señal contiene componentes de frecuencia de fuerte interferencia alejados de la frecuencia de interés, elija una ventana con un rango alto de caída del lóbulo lateral.
      • Si la señal contiene fuertes señales de interferencia cerca de la frecuencia de interés, elija una función de ventana con un nivel bajo de lóbulo lateral máximo.
      • Si la frecuencia de interés contiene dos o más señales muy cerca una de la otra, la resolución espectral es importante. En este caso, es mejor elegir una ventana con un lóbulo principal muy estrecho.
      • Si la precisión de la amplitud de un solo componente de frecuencia es más importante que la ubicación exacta del componente en un contenedor de frecuencia determinado, elija una ventana con un lóbulo principal amplio.
      • Si el espectro de la señal es más bien plano o de banda ancha en el contenido de frecuencia, utilice la ventana uniforme o ninguna ventana.
      • En general, la ventana Hanning (Hann) es satisfactoria en el 95% de los casos. Tiene buena resolución de frecuencia y menor fuga espectral. Si no conoce la naturaleza de la señal, pero desea aplicar una ventana, comience con la ventana de Hann.

 

Aunque no utilice una ventana, la señal es convolucionada con una ventana de forma rectangular de altura uniforme, por la naturaleza de tomar una imagen al momento de la señal de entrada y de trabajar con una señal discreta. Esta convolución tiene un espectro característico de función de seno. Por esto, no hay ventanas bajo el nombre de uniformes o rectangulares, pues ya existe un efecto de ventana.

 

Las funciones de ventana Hamming y Hann tienen una forma sinusoidal. Ambas ventanas resultan en un pico amplio, pero lóbulos laterales bajos. Sin embargo, la ventana Hann llega al cero en ambos extremos, eliminando toda discontinuidad. La ventana Hamming no llega a cero y por lo tanto todavía tiene una ligera discontinuidad en la señal. Debido a esta diferencia, la ventana de Hamming realiza un mejor trabajo de cancelar el lóbulo lateral más cercano, pero un mal trabajo al cancelar cualquier otro. Estas funciones de ventana son útiles para medidas de ruido en las que se busca mejor resolución de frecuencia que algunas de las otras ventanas, pero los lóbulos laterales moderados no representan un problema.

 

 

Figura 13. Ambas ventanas Hamming y Hann resultan en un pico amplio, pero lóbulos laterales bajos.

 

 

La Blackman-Harris es similar a las ventanas Hamming y Hann. El espectro resultante tiene un pico amplio, pero buena compresión del lóbulo lateral. Existen dos tipos principales de esta ventana. La Blackman-Harris de 4 términos es una buena ventana de uso general, que tiene el rechazo de lóbulo lateral en los 90s dB y un lóbulo principal moderadamente amplio. La función de ventana Blackman-Harris de 7 términos tiene todo el rango dinámico que usted puede necesitar, pero tiene un lóbulo principal amplio.

 

Figura 14. La Blackman-Harris da como resultado un pico amplio, pero buena compresión del lóbulo lateral.

 

 

La ventana Kaiser-Bessel crea un balance entre la presición de la amplitud, distancia y altura de lóbulo lateral; objetivos que a veces se contraponen. A grandes rasgos se compara con las funciones de ventana Blackman-Harris, pero para el mismo ancho del lóbulo principal, los lóbulos laterales cercanos tienden a ser más altos, pero los otros lóbulos laterales alejados son más bajos. Elegir esta ventana por lo general revela señales cercanas al ruido de planta.

 

La ventana de superficie plana también es sinusoidal, pero en realidad cruza la línea del cero. Esto provoca un pico mucho más amplio en el dominio de frecuencia, que está más cerca de la verdadera amplitud de la señal que con otras ventanas.

 

Figura 15. La ventana de superficie plana da como resultado información de amplitud más precisa.

 

 

Estas son solamente algunas de las posibles funciones de ventana. No existe un enfoque universal para seleccionar una función de ventana. Sin embargo, la siguiente tabla le puede ayudar en su elección inicial. Siempre compare el rendimiento de diferentes funciones de ventana para encontrar el mejor para la aplicación.

 

 

 

Resumen  

  • Todas las señales en el dominio del tiempo pueden ser representadas por una serie de senos.
  • Una transformada FFT deconstruye una representación en el dominio del tiempo de una señal en la representación de dominio de frecuencia para analizar las diferentes frecuencias en una señal.
  • El dominio de frecuencia es muy bueno para mostrarle si una señal limpia en el dominio del tiempo en realidad contiene interferencia, ruido o fluctuación.
  • La fuga espectral es causada por discontinuidades en el número no entero original de períodos en una señal y se puede mejorar usando ventanas.
  • Las ventanas reducen la amplitud de las discontinuidades en los límites de cada secuencia finita adquirida por el digitalizador.
  • Ninguna ventana recibe el nombre de ventana uniforme o rectangular generalmetne, porque aún se crea un efecto de ventana.
  • En general, la ventana Hanning es satisfactoria en el 95% de los casos. Tiene buena resolución de frecuencia y menor fuga espectral.
  • Usted debe comprar el rendimiento de diferentes funciones de ventana para encontrar el mejor para la aplicación.

 

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