2D ANOVA

입력/출력

2D ANOVA 인자, 레벨, 셀

인자는 데이터를 분류하는 기준입니다. 예를 들어, 개인이 할 수 있는 윗몸 일으키기의 횟수를 세는 경우, 분류의 한 기준은 나이입니다. 나이를 다음 레벨로 분류할 수 있습니다:

다른 가능한 인자는 체중이며, 다음 레벨로 분류할 수 있습니다:

이제 윗몸 일으키기를 할 수 있는 횟수를 조사하기 위해 일련의 측정을 한다고 가정합니다. n명의 무작위 샘플을 취하는 경우, 다음과 같은 결과가 나왔습니다:

이런식으로 진행됩니다.

측정을 인자 A와 인자 B의 함수로 플롯하는 경우, 측정은 인자 A를 행으로 하고 인자 B를 열로 하는 행렬의 셀에 포함됩니다. 각 셀은 적어도 하나 이상의 측정을 포함해야 하며, 각 셀은 같은 개수의 측정을 포함해야 합니다.

분산분석을 실행하려면, 측정의 배열 X를 값 10, 15, 20, 25, 17 및 4로 지정합니다. 배열 인덱스 A는 각 측정이 적용되는 인자 A의 레벨(또는 항목)을 지정합니다. 이 경우, 배열은 값 0, 1, 1, 1, 0, 1을 갖게됩니다.

배열 인덱스 B는 각 측정이 적용되는 인자 B의 레벨(또는 항목)을 지정합니다. 이 경우, 배열은 값 0, 0, 2, 1, 1, 2를 갖습니다. 마지막으로, 인자 A에 대해 2개의 가능한 레벨이 있고, 인자 B에 대해 3개의 가능한 레벨이 있으므로, A 레벨 파라미터에 값 2를 전달하고 B 레벨 파라미터에 값 3을 전달합니다.

L이 지정된 셀당 측정 개수일 때 다음 모델 중 하나를 적용할 수 있습니다:

• 모델 1: 상호작용이 없는 고정 효과이며 셀당 단일 측정 (인자 A와 B 각각에 지정된 레벨 x와 y 마다).
• 모델 2: 상호작용이 없는 고정 효과이며 셀당 L > 1의 측정.
• 모델 3: 상호작용이 있는 고정 효과 모델이거나 셀당 L > 1의 측정.
• 모델 4: 상호작용이 있는 임의 효과이며 셀당 L > 1의 측정.

2D ANOVA 임의 및 고정 효과

결론을 도출하려는 레벨의 모집단 수가 많아 모든 레벨에서 샘플링을 할 수 없는 경우, 인자는 임의 효과입니다. 이 경우 임의로 레벨을 선택하여 모든 레벨에 적용되는 일반적인 결과를 도출합니다. 결론을 도출하려는 모든 레벨에서 샘플을 추출할 수 있는 경우 인자는 고정 효과입니다.

입력 파라미터 A 레벨과 B 레벨은 해당 인자가 임의 또는 고정 효과인지를 나타냄과 동시에 각각 인자 A와 B의 레벨 수를 나타냅니다. 예를 들어 요인 A가 무작위인 경우 A 레벨을 요인 A의 레벨 수만큼 음수로 설정합니다. 셀당 관측값이 하나만 있는 경우, A 수준과 B 수준 모두 양수여야 합니다. 즉, 모델 1을 사용합니다.

2D ANOVA 통계 모델

x_pqr은 각각 A와 B의 p번째, q번째 레벨의 r번째 측정이며, 이때 r = 0, 1, ..., L – 1입니다.

모델 1은 각 측정을 네 구성요소의 합계로 표현합니다.

모델 2, 3, 4는 각 측정을 다섯 구성요소의 합계로 표현합니다.

여기에서

• μ는 총 평균 응답 (모든 모집단에 대한 평균 응답의 평균)
• α_p 는 인자 A의^p 번째레벨의 효과입니다(µ_p - µ 여기서 µ_p 는 모든 레벨의 요인 B에 대한 요인 A의^p번째 레벨의 평균입니다.)
• β_q 는 인자 B의^q번째 레벨의 효과(µ_q - µ 여기서 µ_q 는 모든 수준의 요인 A에 대한 요인 B의^q번째 수준의 평균입니다.)
• (αβ)_pq 는 요인 A의^p 번째수준과 요인 B의^q 번째수준 사이의 상호 작용입니다(μ_pq - (µ + α_p + β_q) 여기서 µ_pq 는^pq번째 셀의 모집단 평균입니다).
• ε_pqr 은 x의편차_pqr 이^pq번째 모집단에 대한 모집단 평균 응답에서 벗어난 편차입니다.

2D ANOVA 가설

다음의 각 가설은 인자 또는 인자 사이의 상호작용이 실험 결과에 영향을 미치지 않는다는 것을 다른 방법으로 표현한 것입니다. 이 VI는 인자들이 영향을 미치지 않는다고 가정한 후 이 가정에 반하는 증거를 찾습니다. 다음은 세가지 가설입니다:

• (A) α_p = 는 요인 A가 고정된 경우 모든 레벨 p에 대해 0이고, 요인 A가 무작위인 경우_σA²= 0입니다.
• (B) β_q = 는 모든 레벨 q에 대해 0이고, 요인 B가 고정된 경우_σB²는무작위인 경우 0입니다.
• (AB) 그 (αβ)_pq = 는 요인 A와 B가 모두 고정된 경우 모든 수준 p와 q에 대해 0이고, 요인 A 또는 요인 B가 무작위인 경우_σA²= 0입니다. (이것은 모델 1에는 적용되지 않습니다. (모델 1에서는 상호작용이 없으며, 관련된 출력 파라미터는 필요하지 않습니다.)

2D ANOVA 가정

[2D ANOVA] VI는 다음을 가정합니다:

• 각 p, q, r에대해 ε_pqr 이 평균 0, 분산_σe²로정규 분포한다고 가정합니다.
• A와 같은 요인이 고정되어 있는 경우, A의 각 수준에서 측정값의 모집단이 평균 α로 정규 분포되어 있다고 가정합니다_p + µ 및 분산_σA²로정규 분포하고 각 수준의 모든 모집단이 동일한 분산을 갖는다고 가정합니다. 또한 α_p 합이 0이라고 가정합니다. B에 대해서도 마찬가지로 가정합니다.
• A와 같은 요인이 무작위인 경우, A 레벨 자체의 효과인 α_p가 평균 0, 분산_σe²로정규 분포하는 무작위 변수라고 가정합니다. B에 대해서도 마찬가지로 가정합니다.
• 상호작용의 효과(αβ)와 관련된 모든 요인(예: A, B)이 다음과 같은 경우_pq 가 고정되어 있다면, 각 수준의 측정값 모집단이 평균 μ_pq 와 분산_σAB²로정규 분포되어 있다고 가정합니다. 고정된 p의경우, (αβ)_pq 는 모든 q를합산할 때 0이 됩니다. 마찬가지로, 고정된 q에대해 평균(αβ)_pq 는 모든 p를합산할 때 0이 됩니다.
• 상호작용의 효과(αβ)와 관련된 A, B와 같은 요인 중 하나라도 있는 경우_pq 가 무작위인 경우, 효과가 평균 0, 분산_σAB²로정규 분포된 무작위 변수라고 가정합니다. A가 고정되어 있고 B가 무작위인 경우, 고정된 q에 대해 모든 p를합산할 때 평균_σAB²가0으로 합산된다고 가정합니다. 마찬가지로 B가 고정되어 있고 A가 무작위인 경우, 고정된 p에 대해 모든 q를합산할 때 평균_σAB²가0으로 합산된다고 가정합니다.
• 확률 변수에 적용된 모든 효과는 상호 독립적이라고 가정합니다.

2D ANOVA 일반적인 방법

각 모델에서, VI는 전체 모집단 평균 데이터의 총 변동 측정인 전체 제곱합, 즉 tss를 여러 구성요소의 제곱합으로 분해합니다. 모델 1은 다음과 같습니다.

한편 모델 2부터 4는 다음과 같습니다.

tss의 각 구성요소 합은 특정 인자 또는 인자 사이의 상호작용에 기인한 변동 측정입니다. 여기서 ssa는 인자 A로 인한 변동 측정이며, ssb는 인자 B로 인한 변동 측정, ssab는 인자 A와 B사이의 상호작용으로 인한 변동 측정이고, sse는 임의의 변동으로 인한 변동 측정입니다. 모델 1에서는 ssab가 나타나지 않습니다. 이것은 상호작용이 없다는 의미입니다.

VI는 각 값 ssa, ssb, ssab, sse를 각각의 자유도로 나누어 평균 제곱 값 msa, msb, msab, mse를 계산합니다. 인자 A와 같은 한 인자가 실험 측정에 큰 영향을 미치는 경우, 해당 값 제곱 평균 msa는 상대적으로 큽니다.

2D ANOVA 가설 검정하기

각 가정에 대해, VI는 관련된 유의성 확률을 계산하는데 사용되는 숫자 f를 계산합니다. 예를 들어, 가설 (A)의 경우, α_p = 0이고, 모든 레벨 p, (고정된 A)에 대해 VI는 다음과 같이 계산합니다

그리고

여기에서

는 자유도가 a - 1과 (a - 1)(b - 1)인 F 분포입니다. 확률 유의성 A, 유의성 B, 유의성 AB를 사용하여 언제 관련된 가설 (A), (B), (AB)를 거부할지 결정할 수 있습니다.

귀무 가설을 거부하는 시점을 어떻게 알 수 있을까요? 각 가설에 대해서 유의수준을 설정합니다. 이 유의수준은 실수로 가설을 거부하게 될 확률입니다.(일반적으로 0.05를 선택) 선택된 유의수준을 관련된 유의성 확률 출력과 비교합니다. 유의성 확률이 선택된 유의수준보다 작은 경우, 귀무 가설을 거부해야 합니다.

예를 들어, A가 무작위 효과이고 선택한 유의 수준이 0.05이고 출력 sigA가 0.03인 경우 가설 αA² = 0을 거부하고 요인 A가 실험 관찰에 영향을 미친다고 결론을 내려야 합니다.

2D ANOVA 수식

x_pqr은 각각 A와 B의 p번째, q번째 레벨의 r번째 측정이며, 이때 r = 0, 1, …, L – 1입니다.

다음과 같은 식에서

a = |A 레벨|

b = |B 레벨|

그리고

L > 1인 경우, dofab = (a - 1)(b - 1)

L = 1인 경우, dofab = 0

L > 1인 경우, dofe = ab(L - 1)

L = 1인 경우, dofab = (a - 1)(b - 1)

sigA =_{Prob{Fa - 1, ab(L - 1} )> fa}(B가 고정된 경우)

sigA =_{Prob{Fa - 1, (a - 1)(b - 1)} > fa}(B가 무작위인 경우)

a가 고정된 경우sigB =_{Prob{Fa - 1, ab(L - 1} ) > fb}

a가 무작위인 경우sigB =_{Prob{Fa - 1, (a - 1)(b - 1)} > fb}

sigAB = Prob{F_{(a – 1)(b – 1), ab(L – 1)} > fab}