Erfassen von Analogsignalen: Bandbreite, Nyquist-Abtasttheorem und Alias-Effekt

Wissenschaftler und Ingenieure verwenden Digitalisierer häufig, um analoge Daten zu erfassen und sie zu Analysezwecken in digitale Signale umzuwandeln. Ein Digitalisierer ist jegliches Instrument oder Gerät, das zum Umwandeln von analogen in digitale Signale verwendet wird. Einer der am häufigsten verwendeten Digitalisierer ist das Mobiltelefon, welches eine Stimme (ein analoges Signal) in ein digitales Signal umwandelt und dieses an ein anderes Telefon sendet. In Test- und Messanwendungen handelt es sich bei einem Digitalisierer jedoch meist um ein Oszilloskop oder ein Digitalmultimeter (DMM). Dieser Artikel konzentriert sich auf Oszilloskope. Die meisten der hier behandelten Themen sind jedoch auch auf andere Digitalisierer anwendbar.

Unabhängig vom Typ ist der Digitalisierer essentiell zum korrekten Rekonstruieren eines Signalverlaufs durch ein System. Um sicherzustellen, dass Sie das korrekte Oszilloskop für Ihre Anwendung gewählt haben, müssen Sie die Bandbreite, Sample-Rate und Auflösung des Oszilloskops in Betracht ziehen.

Das Front-End eines Oszilloskops besteht aus zwei Komponenten: einem analogen Eingangspfad und einem A/D-Wandler. Im analogen Eingangspfad wird das Signal gedämpft, verstärkt, gefiltert und/oder es wird gekoppelt, um es in Vorbereitung auf die Digitalisierung durch den A/D-Wandler zu optimieren. Der A/D-Wandler tastet den konditionierten Signalverlauf ab und wandelt das analoge Eingangssignal in digitale Werte um, die das analoge Eingangssignal repräsentieren. Der Frequenzgang des Eingangspfads verursacht einen inhärenten Verlust von Amplituden- und Phaseninformationen.

Abbildung 1: Die Bandbreite beschreibt den Frequenzbereich, in dem das Eingangssignal durch das Front-End eines Oszilloskops geleitet werden kann, das aus zwei Komponenten besteht: einem analogen Eingangspfad und einem A/D-Wandler.

Die Bandbreite beschreibt die Fähigkeit des analogen Front-Ends, ein Signal unter minimalem Amplitudenverlust an den A/D-Wandler zu leiten - beispielsweise ein Signal von der Spitze der Sonde oder einer Prüfvorrichtung an den Eingang des A/D-Wandlers. Anders ausgedrückt: Mit der Bandbreite wird der Bereich der Frequenzen beschrieben, die mit einem Oszilloskop korrekt gemessen werden können.

Dieser ist definiert als die Frequenz, bei welcher ein sinusförmiges Eingangsignals auf 70,7 % seiner Originalgröße abgeschwächt wird (auch als -3-dB-Grenze-bezeichnet).

Abbildungen 2 und 3 zeigen das typische Antwortsignal für ein 100-MHz-Oszilloskop.

Abbildung 2: Bandbreite ist, wenn das Eingangssignal auf 70,7 Prozent seiner ursprünglichen Amplitude gedämpft ist.

Abbildung 3: Dieser Graph zeigt, dass das Eingangssignal die -3-dB-Grenze bei 100 MHz erreicht. 

Die Bandbreite wird an der Stelle zwischen den unteren und oberen Frequenzpunkten gemessen, wo die Signalamplitude auf -3 dB unterhalb der Durchlassfrequenz fällt. Dies klingt kompliziert, ist aber in einer Schritt-für-Schritt-Anleitung leicht zu verstehen.

Zuerst müssen Sie Ihren -3-db-Wert berechnen.

Gleichung 1: Berechnen des -3-dB-Punkts

U_in,pp ist die Spitze-Spitze-Spannung des Eingangssignals und U_out,pp ist die Spitze-Spitze-Spannung des Ausgangssignals. Beispielsweise kann bei Eingabe einer 1-V-Sinusschwingung die Ausgangsspannung als  berechnet werden, also ist .

Da es sich beim Eingangssignal um eine Sinusschwingung handelt, gibt es zwei Frequenzen, bei denen das Ausgangssignal diese Spannung erreicht; diese werden als Eckfrequenzen f₁ und f₂ bezeichnet. Für diese zwei Frequenzen gibt es viele unterschiedliche Namen, wie Eckfrequenz, Grenzfrequenz, Übergangsfrequenz, Halbwertsfrequenz, 3-dB-Frequenz und Abbruchfrequenz. All diese Begriffe beziehen sich jedoch auf die gleichen Werte. Die Mittenfrequenz des Signals, f₀, ist der geometrische Mittelwert von f₁ und f₂.

Gleichung 2: Berechnen der Mittenfrequenz

Sie können die Bandbreite (BW) berechnen, indem Sie die zwei Eckfrequenzen subtrahieren.

Gleichung 3: Berechnen der Bandbreite

Abbildung 4: Die Bandbreite, die Eckfrequenz, die Mittenfrequenz und der 3-dB-Punkt sind alle miteinander verbunden.

Berechnen des Amplitudenfehlers

Eine weitere nützliche Gleichung ist die Gleichung zum Berechnen von Amplitudenfehlern.

Gleichung 4: Berechnen des Amplitudenfehlers

Der Amplitudenfehler wird als Prozentsatz ausgedrückt und R ist das Verhältnis der Bandbreite des Oszilloskops zur Eingangssignalfrequenz (f_in).

Im oben gezeigten Beispiel haben Sie ein 100-MHz-Oszilloskop mit einer 100-MHs-Sinusschwingung als Eingangssignal von 1 V, und einer BW = 100 MHz und f_in = 100 MHz. Das bedeutet, dass R = 1 ist. Sie müssen dann lediglich die folgende Gleichung lösen:

Der Amplitudenfehler ist 29,3 Prozent. Danach können Sie die Ausgangsspannung für das 1-V-Signal bestimmen:

Es wird empfohlen, dass die Bandbreite Ihres Oszilloskops drei bis fünfmal höher als die höchste zu untersuchende Frequenzkomponente im gemessenen Signal ist, um das Signal mit nur minimalem Amplitudenfehler zu erfassen. Beispielsweise sollten Sie für die 1-V-Sinusschwingung bei 100 MHz ein Oszilloskop mit einer Bandbreite von 300 bis 500 MHz verwenden. Amplitudenfehler eines 100-MHz-Signals bei diesen Bandbreiten sind:

Berechnen der Anstiegszeit

Ein Oszilloskop benötigt neben der entsprechenden Bandbreite zum akkuraten Messen des Signals auch eine ausreichende Anstiegszeit, um die Details bei schnellen Übergängen korrekt zu erfassen. Das trifft vor allem auf Messungen von digitalen Signalen wie Impulsen und Schritten zu. Die Anstiegszeit eines Eingangssignals ist die Zeit, die ein Signal für den Übergang von 10 Prozent auf 90 der maximalen Signalamplitude benötigt. Ziehen Sie zur Sicherheit Ihr Benutzerhandbuch hinzu, da manche Oszilloskope 20 bis 80 Prozent benötigen.

Abbildung 5: Die Anstiegszeit eines Eingangssignals ist die Zeit, die ein Signal für den Übergang von 10 Prozent auf 90 der maximalen Signalamplitude benötigt.

Die Anstiegszeit (T_r) kann wie folgt berechnet werden:

Gleichung 5: Berechnen der Anstiegszeit

Die Konstante "k" ist vom Oszilloskop abhängig. Für die meisten Oszilloskope mit einer Bandbreite von weniger als 1 GHz ist k = 0,35 typisch, während Oszilloskope mit einer Bandbreite von größer als 1 GHz normalerweise einen Wert zwischen 0,4 und 0,45 für k aufweisen.

Die theoretische Anstiegszeit kann aus der Anstiegszeit des Oszilloskops und der tatsächlichen Anstiegszeit des Eingangssignals berechnet werden.

Gleichung 6: Berechnen der theoretischen Anstiegszeit

Es wird empfohlen, dass die Anstiegszeit des Oszilloskops ein Drittel bis ein Fünftel der Anstiegszeit des gemessenen Signals beträgt, um das Signal mit nur einem minimalen Anstiegszeitfehler zu erfassen.

Die Sample-Rate ist nicht direkt mit der Bandbreitenspezifikation verwandt. Die Sample-Rate ist die Frequenz, mit welcher der A/D-Wandler den analogen Eingangssignalverlauf in digitale Daten umwandelt. Das Oszilloskop tastet das Signal ab, nachdem die Dämpfung, Verstärkung und/oder Filterung auf den analogen Eingangspfad angewandt wurde, und wandelt den resultierenden Signalverlauf in eine digitale Darstellung um. Dies findet in Form von Momentaufnahmen statt, die den einzelnen Bildrahmen eines Films ähnlich sind. Je schneller das Oszilloskop abtastet, um so höher und besser sind die Auflösung und die im Signalverlauf erkennbaren Details.  

Nyquist-Abtasttheorem

Mit dem Nyquist-Abtasttheorem wird das Verhältnis zwischen der Sample-Rate und der Frequenz des gemessenen Signals erklärt. Das Theorem gibt an, dass die Sample-Rate f_s mindestens zweimal größer als die höchste zu untersuchende Frequenzkomponente im gemessenen Signal sein muss. Diese Frequenz wird folglich oft als "Nyquist-Frequenz" bezeichnet, f_N.

Gleichung 7: Die Sample-Rate sollte mindestens zweimal so hoch wie die Nyquist-Frequenz sein.

Wir betrachten dazu eine mit unterschiedlichen Raten gemessene Sinusschwingung. Im Fall A wird die Sinusschwingung von Frequenz f mit derselben Frequenz abgetastet. Diese Samples sind auf dem ursprünglichen Signal links dargestellt. Das Signal wird fälschlicherweise als konstante Gleichspannung dargestellt, wenn auf der rechten Seite erzeugt. Im Fall B ist die Sample-Rate zweimal höher als die Frequenz des Signals. Es wird nun als Dreieckschwingung angezeigt. In diesem Fall ist f gleich der Nyquist-Frequenz, welche die höchste erlaubte Frequenzkomponente ist, wenn der Alias-Effekt für eine gegebene Sample-Frequenz vermieden werden soll. Im Fall C liegt die Sample-Rate bei 4f/3. Die Nyquist-Frequenz ist in diesem Fall:

Da f größer als die Nyquist-Frequenz ist (), erzeugt diese Sample-Rate einen Alias-Signalverlauf mit einer inkorrekten Frequenz und Form.

Abbildung 6: Eine zu niedrige Sample-Rate kann eine inkorrekte Rekonstruktion des Signalverlaufs verursachen.

Für ein akkurates Rekonstruieren des Signalverlaufs muss die Sample-Rate fs mindestens zweimal größer als die höchste zu untersuchende Frequenzkomponente im gemessenen Signal sein. Normalerweise empfiehlt sich eine Sample-Rate, die fünfmal größer als die Signalfrequenz ist.

Alias-Effekt

Was bedeutet es, wenn Sie zum Vermeiden von Alias-Effekten das Abtasten mit einer bestimmten Rate durchführen müssen? Bei einer Sample-Rate, die nicht mindestens zweimal so hoch wie die Nyquist-Frequenz ist, erscheinen falsche niedrigere Frequenzkomponenten in den abgetasteten Daten. Dieses Phänomen bezeichnet man als "Alias-Effekt". Die folgende Abbildung zeigt eine 800-kHz-Sinusschwingung, die mit 1 MS/s abgetastet wird. Die gestrichelte Linie zeigt das abgetastete Signal, das mit dieser Sample-Rate erfasst wird. Die 800-kHz-Frequenz wird als Resultat einer Verzerrung im Durchlassbereich fälschlicherweise als 200-kHz-Sinusschwingung dargestellt.

Abbildung 7: Aliasing tritt auf, wenn eine Sample-Rate zu niedrig ist und eine inkorrekte Signalverlaufsdarstellung reproduziert.

Mit der berechneten Alias-Frequenz f_a kann bestimmt werden, wie ein Eingangssignal bei einer Frequenz oberhalb der Nyquist-Frequenz dargestellt wird. Die Alias-Frequenz ist der absolute Wert des nächsten ganzzahligen Vielfachen der Sample-Frequenz, minus der Frequenz des Eingangssignals.

Gleichung 8: Berechnen der Alias-Frequenz

Nehmen Sie beispielsweise ein Signal mit einer Sample-Frequenz von 100 Hz. Das Eingangssignal enthält die folgenden Frequenzen: 25 Hz, 70 Hz, 160 Hz und 510 Hz. Unterhalb der Nyquist-Frequenz von 50 Hz liegende Frequenzen werden korrekt abgetastet. Über 50 Hz liegende Frequenzen erscheinen als Alias-Effekt.

Abbildung 8: Messung verschiedener Frequenzwerte, von denen manche Alias-Frequenzen sind und andere tatsächliche Frequenzen des Signalverlaufs.

So werden die Alias-Frequenzen berechnet:

Zusätzlich zur Erhöhung der Sample-Rate können Alias-Effekte auch durch das Verwenden eines Antialiasing-Filters verhindert werden. Dabei handelt es sich um einen Tiefpassfilter, der Frequenzen im Eingangssignal dämpft, die oberhalb der Nyquist-Frequenz liegen. Der Filter muss vor dem A/D-Wandler eingesetzt werden, um die Bandbreite des Eingangssignals zu begrenzen, damit die Sample-Kriterien erfüllt werden. Analoge Eingangskanäle können sowohl analoge als auch digitale in der Hardware implementierte Filter haben, die beim Verhindern von Alias-Effekten helfen.

Ein weiterer Faktor, der beim Auswählen eines Oszilloskops für eine Anwendung zu beachten ist, ist die Auflösung. Die Bit-Auflösung bezeichnet die Anzahl eindeutiger vertikaler Einheiten, die ein Oszilloskop zur Darstellung eines Signals verwenden kann. Das Konzept der Auflösung kann mit einem Metermaß veranschaulicht werden. Wenn Sie ein Metermaß in Millimeter einteilen, was ist dann die Auflösung? Die kleinste Einheit ist die Auflösung - 1 von 1000.

Die Auflösung eines A/D-Wandlers ist eine Funktion der Anzahl von Teilen, in die das maximale Signal aufgeteilt werden kann. Die Amplitudenauflösung ist durch die Anzahl der diskreten Ausgangspegel des A/D-Wandlers begrenzt. Ein binärer Code repräsentiert jede Unterteilung. So kann die Anzahl der Pegel wie folgt berechnet werden:

Gleichung 9: Berechnen der diskreten Ausgangspegel eines A/D-Wandlers

Ein 3-Bit-Oszilloskop hat beispielsweise 2³ oder acht Pegel. Ein 16-Bit Oszilloskop hat 2¹⁶ bzw. 65.536 Pegel. Die minimale erfassbare Spannungsänderung oder Code-Breite kann wie folgt berechnet werden:

Gleichung 10: Berechnen der Code-Breite

Die Code-Breite wird auch als das niedrigstwertige Bit bezeichnet. Wenn der Eingangsbereich des Geräts 0 bis 10 V ist, dann hat ein 3-Bit-Oszilloskop eine Code-Breite von 10/8 = 1,25 V, während ein 16-Bit-Oszilloskop eine Code-Breite von 10/65,536 = 305 μV aufweist. Das kann beim Darstellen des Signals einen großen Unterschied bedeuten.

Abbildung 9: Unterschied im Signalverlauf bei einer 16-Bit- und 3-Bit-Auflösung

Die benötigte Auflösung hängt von Ihrer Anwendung ab. Je höher die Auflösung ist, um so teurer ist das Oszilloskop. Beachten Sie, dass ein Oszilloskop mit einer hohen Auflösung nicht automatisch auch eine hohe Genauigkeit erreicht. Die erreichbare Genauigkeit eines Instruments ist jedoch durch die Auflösung limitiert. Die Genauigkeit einer Messung wird durch die Auflösung begrenzt. Je höher die Auflösung (Anzahl von Bits), desto genauer die Messung.

Manche Oszilloskope verwenden eine Methode genannt "Dithering", um Signale zu glätten, um den Eindruck einer höheren Auflösung zu vermitteln. Dithering bedeutet ein absichtliches Hinzufügen von Rauschen zum Eingangssignal. Dadurch werden kleinere Unterschiede in der Amplitudenauflösung verwischt. Es ist dabei wichtig, zufälliges Rauschen auf eine Art hinzuzufügen, die das Signal zwischen den aufeinanderfolgenden Stufen zurück- und vorspringen lässt. Dadurch wird das Signal selbst verrauschter. Das Signal wird jedoch nach der Erfassung durch die digitale Mittelung dieses Rauschens geglättet.

Abbildung 10: Mit Hilfe von "Dithering" kann ein Signal geglättet werden.

• Bandbreite beschreibt den Bereich der Frequenzen, die ein Oszilloskop akkurat messen kann. Dieser ist definiert als die Frequenz, bei welcher ein sinusförmiges Eingangssignal auf 70,7 % seiner Originalgröße abgeschwächt wird (auch als -3-dB-Grenze-bezeichnet).
• Bandbreite ist die Differenz zwischen den Eckfrequenzen.
• Amplitudenfehler ist der aus dem Verhältnis der Bandbreite zu den Eingangssignalfrequenzen resultierende Prozentsatz, der dabei hilft, das Rauschen in einem System zu bestimmen.
• Es wird empfohlen, dass die Bandbreite Ihres Oszilloskops drei bis fünfmal höher als die höchste zu untersuchende Frequenzkomponente im gemessenen Signal ist, um das Signal mit nur minimalem Amplitudenfehler zu erfassen.
• Die Anstiegszeit eines Eingangssignals ist die Zeit, die ein Signal für den Übergang von 10 Prozent auf 90 der maximalen Signalamplitude benötigt.
• Es wird empfohlen, dass die Anstiegszeit des Oszilloskops ein Drittel bis ein Fünftel der Anstiegszeit des gemessenen Signals beträgt, um das Signal mit nur einem minimalen Anstiegszeitfehler zu erfassen.
• Die Sample-Rate ist die Frequenz, mit welcher der A/D-Wandler den analogen Eingangssignalverlauf in digitale Daten umwandelt.
• Die Sample-Rate sollte mindestens zweimal so hoch wie die höchste zu untersuchende Frequenz im Signal sein. Normalerweise sollte sie sogar fünfmal so hoch sein.
• Alias-Effekt bedeutet, dass inkorrekte Frequenzkomponenten in abgetasteten Daten erscheinen.
• Die Bit-Auflösung bezeichnet die Anzahl eindeutiger vertikaler Bereiche, die ein Oszilloskop zur Darstellung eines Signal verwenden kann.
• Je höher die Auflösung eines Messinstruments, um so größer ist die Genauigkeit.

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Oszilloskope für automatisiertes Testen
Oszilloskope sind ein wesentlicher Bestandteil von vielen Anwendungen und somit eine Notwendigkeit für automatisierte Testsysteme. Sie sollten eine modulare Lösung in Erwägung ziehen, wenn Ihre Anwendung das Messen, Analysieren und Verarbeiten von Daten, einen schnellen Datendurchsatz oder wenig Platz und geringen Stromverbrauch erfordert.

Eine vollständige Liste mit Anleitungen finden Sie auf der Hauptseite zu den Instrument Fundamentals.