示波器​運作​原理:​頻寬、​取樣​率、​Nyquist Theorem (奈​奎​斯​特定​理)

綜覽

示波器​被​廣泛​用於​資料​擷取,​其​運作​原理​在​工程學​中​也有​重要​意義。​本文​將​詳細​介紹​如何​通過​示波器​進行​類比​訊號​擷取,​以及​頻寬、​振幅​錯誤、​上升​時間、​取樣​率、​奈​奎​斯​特​取樣​定理、​失真​與​解析度​等​概念。 本​線上​教學​為​「儀器​基本​概念」​系列​課程。

內容

什麼​是​示波器 (digitizer) 及其​基本​原理?   

科學家​與​工程師​經常​在​實務​應用​中​使用​示波器​進行​類比​訊號​擷取,​並將​其​轉換​為​數位​訊號​以供​分析​之​用。 任何​可​將​類比​訊號​轉換​為​數位​訊號​的​裝置,​都可​稱為​示波器。 行動​電話​就是​最​常見​的​一種​示波器,​它​可​將​擷取​到​的​語音 (類比​訊號) 轉換​為​數位​訊號​以便​傳輸​到​另一​支​電話。 不過​在​測試​與​量​測​應用​中,​示波器 (digitizer) 主要​指​的是​「oscilloscope」​(也​譯為​示波器) 或​多功能​數位​電錶 (DMM)。 本文​主要​探討​的是​示波器 (oscilloscope),​但​其中​大部分​主題​也​可​適用於​其他​種類​的​示波器 (digitizer)。

無論​類型​為何,​任何​一套​系統​都​需要​藉​助​示波器,​才能​準確​地​重建​波形。 若​想要​針對​不同​應用​需要​選擇​適合​的​示波器 (oscilloscope),​應​先​了解​示波器​的​運作​原理​和​在​購買​時​考慮​該​示波器​的​頻寬、​取樣​率​與​解析度。

 

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頻寬

什麼​是​頻寬?​頻寬 (Bandwidth) 說明​了​類比​前端​在​最小​振幅​喪失​前提​下,​將​外界​訊號​傳導​至 ADC 的​能力,​也就是​從​探​針​尖端​或​測試​治​具​傳導​到 ADC 輸入。​總的來說,​示波器​前端​包含​兩大​元件:​類比​輸入​路徑​與​類比​轉​數位​轉換器 (ADC)。 在 ADC 進行​數位化​之前,​類比​輸入​路徑​必須​先​進行​訊號​衰減、​放大、​濾波​以及/​或是​偶合​等​處理。 然後,​ADC 會將​處理​過​的​波形​取樣,​並將​類比​輸入​訊號​轉換​為​可​代表​類比​輸入​波形​的​數位​值。 輸入​路徑​的​頻率響應​會​導致​固有​的​振幅​與​相位​資訊​喪失。

 

 

圖 1. 頻寬​說明​了​輸入​訊號​通過​示波器​前端​的​兩個​頻率​範圍​部分:​類比​輸入​路徑​與 ADC。

 

可以​說,​頻寬 (Bandwidth) 主要​用以​形容​一個​特定​範圍,​在​這個​範圍​內,​輸入​訊號​可以​用​振幅​損失​最少​的​方式,​穿過​類比​前端​到達 ADC 的​輸入​端。​其​說明​了​示波器​可​準確​量​測​的​頻率​範圍。

 

頻寬​的​定義​為​正弦​輸入​訊號​衰減​為​原始​振幅​之 70.7% (也​可​稱為 -3 dB 點) 時​的​頻率,​以​赫茲​(Hz)​為​單位。 圖 2 與 3 顯示 100 MHz 示波器​的​典型​輸入​響應。

 

圖 2. 輸入​訊號​衰減​為​原始​振幅 70.7% 時​的​頻寬。

 

圖 3. 本​圖表​指出​在 100 MHz 時,​輸入​訊號​會​觸及 -3dB 點。

 

頻寬​的​量​測​範圍,​介於​訊號​振幅​降至​低於​通​帶​頻率 -3 dB 的​頻率​點​下​上限​之間。 此​種​方式​看似​複雜,​但​只要​拆開來​看,​實際上​相對​簡單。

 

首先​計算​您​的 -3 dB 值。

 

等​式 1. 計算 -3 dB 點

 

Vin,pp 為​輸入​訊號​的​峰值​對​峰值​電壓,而 Vout,pp 則是​輸出​訊號​的​峰值​對​峰值​電壓。 例如,​當​您​輸入 1 V 正弦波,​輸出​電壓​可​計算​為 ,​因此

 

由於​輸入​訊號​為​正弦波,​當​輸出​訊號​觸及​此​電壓​時​就會​出現​兩個​頻率;​我們​稱之為 f1 以及 f2 角​頻率。 這​兩種​頻率​有​多種​名稱,​像是​角​頻率、​截止​頻率、​交​越​頻率、​半​功率​頻率、​3 dB 頻率​與​拐​點​頻率。​這些​詞彙​指​的​都是​相同​的​數值,​而​頻寬​也是​由​這​兩個​數值​計算​而​得。​訊號​的​中央​頻率 f0 是 f1 與 f2 的​幾何​中​數。

 

等​式 2. 計算​中央​頻率

 

減去​兩個​角​頻率​就​可​計算​出​頻率 (BW)。

 

等​式 3. 計算​頻寬

 

 

 

圖 4. 頻寬、​角​頻率、​中央​頻率​與 3 dB 點​彼此​皆有​關聯。

 

計算​振幅​錯誤

下列​是​計算​頻寬​時​一種​時常​派上用場​的​等​式,​用於​計算​振幅​錯誤。

等​式 4. 計算​振幅​錯誤

 

振幅​錯誤​會​以​百分比​來​表示,​而 R 則是​示波器​頻寬​與​輸入​訊號​頻率 (fin) 的​比例。

 

透過​以上​範例,​顯示 100 MHz 示波器​具有 100 MHz 正弦波​輸入​訊號 (1 V 與 BW = 100 MHz,​以及 fin = 100 MHz), 這​表示 R = 1。​這時​您​只需​計算​等​式:

振幅​錯誤​為 29.3%。 接著,​您​可以​得出 1 V 訊號​的​輸出​電壓:

建議​您​選擇​頻寬​高出​受​量​測​訊號​中​相關​最高​頻率​分量​的 3 至 5 倍​的​示波器,​以​擷取​振幅​錯誤​最小​的​訊號。 舉例來說,​當 1 V 正弦波​為 100 MHz,​則​請​使用​頻寬​介於 300 MHz 至 500 MHz 的​示波器。 100 MHz 訊號​在​這些​頻寬​的​振幅​錯誤​如下:

 

 

計算​上升​時間 (Rise Time)

輸入​訊號​的​上升​時間,​指​的是​訊號​最大​振幅​從 10% 轉​至 90% 所需​的​時間。​示波器​除了​要有​合適​的​頻寬​以外,​還​需​同時​擁有​足夠​的​上升​時間,​以​準確​擷取​快速​轉變​過程​中的​細節,​才能​準確​量​測​訊號。​在​量​測​脈衝​與​步​進​之類​的​數位​訊號​時,​最需​留意​這點。​某些​示波器​可能​會將​此​時間​訂為 20% 至 80%,​請​務必​參閱​您​的​使用者​手冊。

 

 

圖 5. 輸入​訊號​的​上升​時間,​指​的是​訊號​最大​振幅​從 10% 轉​至 90% 所需​的​時間。

 

上升​時間 (Tr) 計算​方式​如下:

等​式 5. 計算​上升​時間

 

常數 k 取決於​示波器​設定。 大多數​頻寬​小於 1 GHz 的​示波器,​其​常​數值 k 通常​為 0.35,​而​頻寬​大於 1 GHz 的​示波器,​其​常​數值 K 一般​則為​介於 0.4 與 0.45。​由​公式​可得:​K 值​越​大,​示波器​的​上升​時間​越​長。

 

理想​的​量​測​上升​時間可​藉由​計算​示波器​上升​時間與​輸入​訊號​的​實際​上升​時間​來​求得

 

等​式 6. 計算​理想​的​量​測​上升​時間

 

建議​您​將​示波器​上升​時間​調整​為​受​量​測​訊號​上升​時間​的 1/3 至 1/5,​以​擷取​上升​時間​誤差​最小​的​訊號。

 

 

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取樣率

取樣​率​是​了解​示波器​原理​的​另一​個​重要​概念。​取樣​率​與​頻寬​規格​並沒有​直接​關聯。 取樣​率​是 ADC 將​類比​輸入​波形​轉換​為​數位​資料​時​的​頻率。 當​類比​輸入​路徑​完成​訊號​衰減、​增益​與/​或​濾波​等​作業​後,​示波器​會​開始​對​訊號​進行​取樣,​並將​最後​顯示​的​波形​轉換​為​數位​形式。 整個​過程​就像​是​電影​中的​影​格​一樣,​以​快照​方式​進行。 示波器​取樣​率​越高,​波形​的​解析度​會​越高,​而​細節​也會​越​清楚。

 

奈​奎​斯​特​取樣​定理 (Nyquist Theorem)

奈​奎​斯​特​取樣​定理​說明​了​受​量​測​訊號​的​取樣​率​與​頻率​之間​的​關係。​根據​此​定理,​取樣​率 fs 必須​比​受​量​測​訊號​中​相關​最高​頻率​分量​高出​兩倍。 此​頻率​通常​稱為​奈​奎​斯​特​頻率 fN

等​式 7. 取樣​率​必須​比奈​奎​斯​特​頻率​高出​兩倍。

 

為​了解​其​原理,​我們​將​以​不同​取樣​率​量​測​的​正弦波​為例​說明。 在​案例 A 中,​頻率 f 的​正弦波​採用​相同​頻率​來​取樣。 這些​樣本​會​標示​在​左側​的​原始​訊號​上,​而​右側​建構​的​訊號​則會​錯誤​顯示​為​常數 DC 電壓。 在​案例 B 中,​取樣​率​為​訊號​的​兩倍。 現在​看起來​就像​是​三角​波形。 在此​情況​下,​f 等於​奈​奎​斯​特​頻率,​也就是​在​特定​取樣​率​下​用於​避免​訊號​失真​的​最高​頻率​分量。 在​案例 C 中,​取樣​率​為 4f/​3。​在此​情況​下,​奈​奎​斯​特​頻率​為:

 

 

因為 f 大於​奈​奎​斯​特​頻率 (),​此​取樣​率​會​產生​頻率​與​形狀​皆​不正確​的​失真​波形。

 

 

圖 6. 太低​的​取樣​率​會​產生​不​準確​的​波形​重建。

 

因此,​為了​準確​地​重建​波形,​取樣​率 fs 必須​比​受​量​測​訊號​中​相關​最高​頻率​分量​高出​兩倍。 通常​我們​會​讓​取樣​率​比​訊號​頻率​高出​五​倍​左右。

 

失真

失真​發生​在​訊號​擷取​過程​中,​當​訊號​取樣​率​小於​奈​奎​斯​特​頻率​的​兩倍​時,​取樣​資料​中​會​出現​錯誤​的​較低​頻率​分量,​此​現象​稱為​失真。​要​避免​訊號​失真​需要​特定​的​取樣​率。​下​圖​顯示​以 1 MS/​s 得出​的 800 kHz 正弦波​取樣​頻率。​虛線​表示​該​取樣​率​下​所​記錄​的​失真​訊號。 800 kHz 頻率​會​回到​通​帶​並​出現​失真​現象,​同時​顯示 200 kHz 正弦波​的​錯誤​頻率。

 

 

圖 7. 當​取樣​率​太低,​並​產生​不​準確​的​波形​時,​就會​出現​失真​情況。

 

失真​頻率 fa 可在​經過​計算​後,​決定​超過​奈​奎​斯​特​頻率​的​輸入​訊號​是​如何​產生​的。 此​值​是​樣本​頻率​最​接近​的​整​倍數,​減去​輸入​訊號​頻率​後​的​絕對值。

 

等​式 8. 計算​失真​頻率

 

例如,​假設​訊號​的​取樣​頻率​為 100 Hz,​而​輸入​訊號​內含​下列​頻率:​25 Hz、​70 Hz、​160 Hz 與 510 Hz。 低於 50 Hz 奈​奎​斯​特​頻率​的​所有​頻率​皆可​正確​取樣;​超過 50 Hz 的​頻率​則會​失真。

 

圖 8. 量​測​不同​的​頻率​值​之後,​從​波形​中​我們​發現​其中​有些​為​失真​頻率,​而​其他​則為​實際​頻率。

 

以下​是​失真​頻率​的​計算​方式:

要​防止​出現​失真​情況,​除了​增加​取樣​率​之外,​還可以​使用​反​失真​濾波器。 這種​低​通​濾波器​可​讓​任何​大於​奈​奎​斯​特​頻率​的​輸入​訊號​頻率​衰減,​因此​必須​在 ADC 之前​使用,​藉此​限制​輸入​訊號​頻寬​並​達到​取樣​標準。 所有​類比​輸入​通道​皆可​同時​在​硬體​內​實作​類比​與​數位​濾波器,​以​防止​失真​狀況。

 

 

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解析度

解析度​是​了解​示波器​運作​原理​的​另一​概念,​也是​選擇​應用​所需​示波器​時​的​考量​要素。​解析度​位元​就是​示波器​用來​呈現​訊號​的​唯一​垂直​層​級數。​要​了解​解析度​概念,​比較​碼​尺​是​一種​方式。​將​碼​尺/​米尺​細分​為​公釐​單位;​解析度​指​的​就是​碼​尺​上​最小​的​刻度,​也就是 1/1000 單位。

 

ADC 解析度​代表​訊號​所能​分割​的​最大​數量。 振幅​解析度​受到 ADC 離散​輸出​層​級​數量​的​限制。 二進位​碼​代表​每個​分區,​因此​層​級​數量​計算​方式​如下:

等​式 9. 計算 ADC 離散​輸出​層級

 

例如,​3 位元​示波器​具有 23,​也就是 8 個​層​級。 另一方面,​16 位元​示波器​則​具有 216,​也就是 65,536 個​層​級。 可​偵測​的​最小​電壓​變更​或​編碼​寬度​計算​方式​如下:

 

等​式 10. 計算​編碼​寬度

 

編碼​寬度​也​稱為​最低​有效​位元 (LSB)。 當​裝置​輸入​範圍​介於 0 到 10 V,​則 3 位元​示波器​的​編碼​寬度​為 10/8 = 1.25 V,​而 16 位元​示波器​的​編碼​寬度​為 10/65,536 = 305 μV。 由此​可​看出,​在​訊號​的​顯示​方式​上​差距​極大。

           

圖 9. 解析度​介於 16 位元​與 3 位元​之間​的​波形​差異

 

一般​來說,​解析度​越高,​示波器​成本​越高;​您​需要​的​解析度​則​需要​取決於​應用。 請​注意,​高​解析度​的​示波器​不​必然​代表​可​提供​高​準確度; 然而,​儀器​能​達成​的​準確度​卻會​受到​解析度​限制。 解析度​會​限制​量​測​精確度;​解析度 (位元​數) 越高,​量​測​精確度​就​越高。

 

某些​示波器​為了​讓​解析度​看起來​更高,​使用​一種​稱為​「高頻​振動」​的​方法​對​訊號​進行​平滑​處理。 在​處理​過程​中,​高頻​振動​會​刻意​將​雜訊​加進​輸入​訊號。 這麼​做​有助於​撫平​振幅​解析度​中的​細微​差異。 其中​關鍵​在於​加入​隨機​雜訊​時,​必須​讓​訊號​在​連續​層​級​中​來回​跳動。 這麼​做​雖能​令​解析度​看起來​高,​卻​也​讓​訊號​雜訊​更多。 不過,​一旦​擷取​到​訊號​後,​只要​以​數位​方式​取得​此​雜訊​平均值,​就​能​讓​訊號​平滑​化。

 

圖 10. 高頻​振動​方式​有助於​讓​訊號​平滑​化。

 

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結論

  • 頻寬、​上升​時間、​取樣​率、​解析度、​失真、​奈​奎​斯​特​取樣​定理 (Nyquist Theorem) 是​了解​示波器​運作​原理​的​重要​概念​以及​挑選​示波器​時​的​考量​因素。
  • 頻寬說明​了​示波器​可​準確​量​測​的​頻率​範圍。 其​定義​為​正弦​輸入​訊號​衰減​為​原始​振幅​之 70.7% (也​可​稱為 -3 dB 點) 時​的​頻率。
  • 頻寬​是​各個角​頻率之間​的​差異。
  • 振幅​錯誤為​決定​系統​雜訊​時,​頻寬​與​輸入​訊號​頻率​的​比例​百分比。
  • 建議​您​讓​示波器​頻寬​高出​受​量​測​訊號​中​相關​最高​頻率​分量​的 3 至 5 倍,​以​擷取​振幅​錯誤​最小​的​訊號。
  • 輸入​訊號的上升​時間,​指​的是​訊號​最大​振幅​從 10% 轉​至 90% 所需​的​時間。
  • 建議​您​將​示波器​上升​時間​調整​為​受​量​測​訊號​上升​時間​的 1/3 至 1/5,​以​擷取​上升​時間​誤差​最小​的​訊號。
  • 取樣率是 ADC 將​類比​輸入​波形​轉換​為​數位​資料​時​的​頻率。
  • 取樣​率​至少​需​為​訊號​中​相關​最高​頻率的兩倍,​不過​大多數​時候​應為五​倍​左右
  • 失真指​的是​取樣​資料​中​出現​錯誤​的​頻率​分量。
  • 解析度位元就是​示波器​用來​呈現​訊號​的​唯一​垂直​層​級數。
  • 儀器​解析度​越高,​其​精確度​就​越高。

 

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