Optimiser les FFT grâce aux fonctions de fenêtrage

1. Définition

Le fenêtrage est une technique servant à découper une section de vos données à mesurer, afin de minimiser les distorsions qui provoquent une fuite spectrale de la FFT. En utilisant correctement les fonctions de fenêtrage, la résolution spectrale de vos résultats dans le domaine fréquentiel s'en trouvera accrue.

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2. Concepts de base : transformée de Fourier rapide (FFT, Fast Fourier Transform)

La FFT, ou transformée de Fourier rapide, applique une transformée de Fourier à un ensemble de fréquences discrètes, à partir d'un signal du domaine temporel échantillonné de manière discrète sur un intervalle de temps fini. L'intervalle étant fini, la FFT a tendance à ne pas être très sélective du point de vue de la fréquence.

La FFT se comporte comme un ensemble de filtres à bande étroite suivi d'un ensemble de détecteurs correspondants chargés de calculer la somme vectorielle de toutes les composantes des signaux qui passent par chaque filtre. Dans le cas du spectre de puissance, les données résultantes sont de type scalaire au lieu de vectoriel, et le détecteur se contente d'indiquer l'énergie totale passant par chaque filtre. Ici encore, les données de la source ayant une durée limitée dans le temps, les filtres ont tendance à ne pas être particulièrement sélectifs. Il y a un certain chevauchement d'un intervalle à l'autre, comme on peut le constater sur la Figure n°1. 

Cette figure montre également que, même si le lobe principal du filtre est assez étroit, la réponse de la bande latérale du filtre s'étend de manière problématique. Le rôle d'une fonction de fenêtrage est de réduire la taille des lobes secondaires, au prix d'une largeur accrue du lobe principal, comme l'illustre la Figure n°5.

Figure n°1 : La courbe noire montre la réponse en fréquence de l'intervalle 3 ;
la courbe bleue celle de l'intervalle 4, etc. Il n’y a pas une bonne réjection des fréquences adjacentes.

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3. Mesures sur un intervalle de temps limité

Lorsque vous utilisez la FFT pour mesurer le contenu fréquentiel de données, vous devez baser l’analyse sur un ensemble fini de données. La FFT suppose que l'ensemble fini de données est une période d'un signal périodique. Pour la FFT, le domaine temporel et le domaine fréquentiel sont tous deux circulaires ; elle considère donc que les deux extrémités du signal temporel sont reliées l'une à l'autre. C'est pourquoi la nature finie du signal échantillonné peut donner un signal tronqué ayant des caractéristiques spectrales différentes du signal continu d'origine ; cette nature finie peut également provoquer des variations de transitions brusques dans les données mesurées. Ces transitions brusques sont des discontinuités. Afin de minimiser cet effet, il est possible d'appliquer une fonction de fenêtrage au signal mesuré, dans le domaine temporel. Cela permettra de relier les extrémités du signal et donc d'obtenir un signal continu, sans transition brusque.

Nous allons observer les différents cas de signaux finis dans le temps.

Nombre entier de périodes

Lorsque le signal est périodique et que l'intervalle temporel d'acquisition comprend un nombre entier de périodes, la FFT fonctionne parfaitement.

Figure n°2 : La mesure d'un nombre entier de périodes donne une FFT idéale.

Nombre non entier de périodes

Lorsque le nombre de périodes de l'acquisition n'est pas entier, les extrémités sont discontinues. Cela entraîne des lobes secondaires importants, tels que l'on peut les observer dans le graphe du spectre non fenêtré. Ce phénomène s'appelle une "fuite spectrale".  

Figure n°3 : La mesure d'un nombre non entier de périodes ajoute une fuite spectrale à la FFT

Fenêtrage d'un nombre non entier de périodes

L'application d'une fonction de fenêtrage à l'acquisition, qui permet de relier les extrémités du signal de façon plus lisse avant le calcul de la FFT, donne une meilleure résolution du spectre. Cette méthode est également appelée "application d'une fenêtre" ou "fenêtrage".  

Figure n°4 : Le fenêtrage permet de minimiser les effets de fuite spectrale.

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4. Principaux types de fenêtrage

Il existe différents types de fonctions de fenêtrage, chacun présentant ses propres avantages et étant adapté à certaines applications. Afin de bien illustrer les différences entre les fenêtres les plus courantes, nous commencerons par un exemple.

Exemple de fenêtre

L'application d'une fenêtre Blackman-Harris quatre termes permet de réduire fortement les lobes secondaires, alors que la largeur de bande de -3 dB du lobe principal passe d’un intervalle à environ deux intervalles (il suffit de comparer la Figure n°5 à la Figure n°1). Malgré cet accroissement de la largeur du lobe principal, le jeu en vaut généralement la chandelle.

Figure n°5 : Une fenêtre (ici, la Blackman-Harris quatre termes) permet de
réduire les lobes secondaires dans le domaine fréquentiel.

La Figure n°6 montre le graphe du domaine temporel de plusieurs fenêtres couramment utilisées. La plupart des fenêtres commencent et s'achèvent à zéro, et atteignent 1 en leur milieu. Les fenêtres les plus étroites dans le domaine temporel donnent les lobes principaux les plus larges dans le domaine fréquentiel, et vice-versa.

Figure n°6 : Graphe du domaine temporel de plusieurs fenêtres couramment utilisées

• Comme les lobes secondaires sont importants, l'utilisation de la FFT avec une fenêtre rectangulaire (c'est-à-dire sans fonction de fenêtrage) n'est généralement pas recommandée.
• La fonction de fenêtrage de Hann (aussi appelée "Hanning") est adaptée aux mesures de bruits, qui nécessitent une bonne résolution de fréquence mais qui peuvent tolérer des lobes secondaires relativement importants.
• La fonction de fenêtrage Blackman-Harris quatre termes est adaptée à des usages standards : elle permet une réjection des lobes secondaires dans des valeurs de 90 dB ou plus, et présente un lobe principal modérément large.
• La fonction de fenêtrage Blackman-Harris sept termes offre la gamme dynamique la plus étendue possible, mais donne un large lobe principal.
• La fonction de fenêtrage Kaiser-Bessel propose un paramètre variable, bêta, qui permet de trouver un équilibre entre les lobes secondaires et le lobe principal. Elle ressemble globalement à la fenêtre Blackman-Harris, mais pour un lobe principal de même largeur, les premiers lobes secondaires ont tendance à être plus élevés, tandis que les lobes secondaires plus éloignés sont plus bas.

À mesure que les ordinateurs deviennent plus rapides et que leur mémoire augmente, la taille de FFT acceptable s'accroît proportionnellement. Déjà en 2000, d'importantes FFT pouvaient être calculées assez rapidement pour que la fenêtre Blackman-Harris sept termes fournisse une résolution de fréquence satisfaisante et, bien entendu, une gamme dynamique extrêmement étendue. Les futures puissances de calcul favoriseront les fenêtres dont la gamme dynamique est la plus grande.

Figure n°7 : Réponse dans le domaine fréquentiel pour les fenêtres 
présentées dans la Figure n°6

Le choix de la fonction de fenêtrage n'est pas aisé. En effet, chaque fonction a ses caractéristiques propres et est adaptée à des applications particulières. Pour pouvoir faire ce choix, il est nécessaire d'estimer le contenu fréquentiel du signal.

• Si le signal comporte de fortes composantes de fréquence interférentes éloignées des fréquences pertinentes, optez pour une fenêtre de lissage avec un fort taux d'affaiblissement des lobes secondaires.
• Si le signal comporte d'importants signaux interférents proches de la fréquence pertinente, choisissez une fonction de fenêtrage avec une faible tolérance des lobes secondaires.
• Si la fréquence pertinente contient deux signaux très proches ou davantage, la résolution spectrale sera un paramètre important. Dans ce cas, il est préférable de choisir une fenêtre de lissage avec un lobe principal très étroit.
• Si la précision d'amplitude d'une seule composante de fréquence est plus importante que l'emplacement exact de la composante au sein d'un intervalle de fréquence donné, optez pour une fenêtre avec un large lobe principal.
• Si le spectre du signal est plutôt plat ou à large bande en fréquence, utilisez la fenêtre uniforme, ou pas de fenêtre.
• La fenêtre de Hanning est satisfaisante dans 95 % des cas. Elle a une bonne résolution en fréquence et une faible fuite spectrale. Si vous ne connaissez pas la nature du signal mais désirez appliquer une fenêtre de lissage, commencez par utiliser la fenêtre de Hanning.

Pour savoir rapidement quelle fonction de fenêtrage est adaptée à quels types de signaux et d'applications, consultez le tableau de la Figure n°8 ci-dessous.

Figure n°8 : Recommandations pour les différents types de fenêtres

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5. Fenêtrage en LabVIEW

Dans l'environnement de développement graphique LabVIEW*, les fenêtres sont disponibles dans plusieurs fonctions du domaine fréquentiel. Par exemple, le VI Express Mesures spectrales vous donne le choix entre neuf types de fenêtres différents. S'agissant d'un VI Express, un exemple de la fenêtre sélectionnée dans le domaine temporel sera immédiatement affiché, pour une description visuelle explicite.

Figure n°9 : Choix d'une fonction de fenêtrage dans le VI Express Mesures spectrales de LabVIEW

De nombreux autres VIs proposent une option de choix du type de fenêtre. Il existe même une palette "Fenêtres" avec des VIs de fonctions de fenêtrage, vous permettant de créer votre propre application d'analyse personnalisée.

Figure n°10 : La palette Fenêtres de LabVIEW

* Non compris dans la version de base

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6. Produits NI associés

Les clients ayant lu ce tutorial se sont également intéressés aux produits NI suivants :

• LabVIEW : environnement de programmation graphique
  • Toolkit LabVIEW Signal Processing
  • Toolkit LabVIEW Sound and Vibration
•  SignalExpress : environnement logiciel interactif 
•  Numériseurs
•  Acquisition de signaux dynamiques (DSA)
•  Acquisition de données (DAQ)

Pour obtenir une liste complète des tutoriaux, revenez à la page principale dédiée aux principes fondamentaux de la mesure.