Schnelle Fourier-Transformation (FFT) und Fensterfunktion

Überblick

Hier erfahren Sie mehr zum Zeit- und Frequenzbereich sowie zur schnellen Fourier-Transformation (FFT) und Fensterfunktion und Sie lernen, wie Sie diese zum besseren Verstehen eines Signals verwenden können. Diese Anleitung ist Teil der Serie "Instrument Fundamentals".

Inhaltsverzeichnis

  1. Zeitbereich, Frequenzbereich und FFT
  2. Fensterfunktion
  3. Zusammenfassung 
  4. Zusätzliche Ressourcen zu Instrumenten

Zeitbereich, Frequenzbereich und FFT

Die Fourier-Transformation kann beim Verstehen häufig verwendeter Signal und bei der Fehlerbehebung in Signalen extrem hilfreich sein. Die Fourier-Transformation ist eine komplizierte mathematische Funktion. Das Prinzip ist jedoch leicht verständlich und einfach auf Ihre erfassten Signale anwendbar. Im Wesentlichen wird ein Signal in Sinuswellen verschiedener Amplituden und Frequenzen aufgeteilt. Lassen Sie uns die Bedeutung und den Nutzen der Funktion näher betrachten.

 

Alle Signale sind die Summe von Sinusschwingungen

Natürliche Signale werden üblicherweise als Spannungssignale angezeigt, die über einen Zeitraum hinweg variieren. Dies wird als Zeitbereich bezeichnet. Das Fourier-Theorem sagt aus, dass jeder Signalverlauf im Zeitbereich durch die gewichtete Summe der Sinus- und Cosinusschwingungen dargestellt werden kann. Nehmen Sie beispielsweise zwei Sinusschwingungen, von denen eine dreimal schneller als die andere ist, bzw. die Frequenz eines Signals 1/3 der Frequenz des anderen Signals beträgt. Wenn Sie diese addieren, erhalten Sie ein neues Signal.

 

 

 Abbildung 1. Beim Addieren von zwei Signalen erhalten Sie ein neues Signal.

 

 

Stellen Sie sich nun vor, dass auch die Amplitude der zweiten Schwingung 1/3 der Amplitude der ersten Schwingung beträgt. In diesem Fall sind nur die Spitzen betroffen.

 

 

Abbildung 2. Veränderte Spitzen nach Anpassen der Amplitude beim Addieren von Signalen.

 

 

Stellen Sie sich vor, Sie fügen ein drittes Signal mit 1/5 der Amplitude und Frequenz des ursprünglichen Signals hinzu. Wenn Sie auf diese Weise bis zum Erreichen des Grundrauschens fortfahren, erkennen Sie evtl. den resultierenden Signalverlauf.

 

 

 

Abbildung 3. Eine Rechteckschwingung ist die Summe von Sinusschwingungen.

 

 

Sie haben nun eine Rechteckschwingung erstellt. Auf diese Art können alle Signale im Zeitbereich durch eine Serie von Sinusschwingungen dargestellt werden.

 

Es mag praktisch sein, Signale auf diese Art erstellen zu können, aber wozu dient es wirklich? Wenn Sie ein Signal aus Sinusschwingungen konstruieren können, können Sie im Umkehrschluss Signale auch in Sinusschwingungen zerlegen. Nach dem Zerlegen eines Signals können Sie die verschiedenen Frequenzen sehen und analysieren, aus denen das Ursprungssignal besteht. Sehen Sie sich einige Beispiele an, die zeigen, wie nützlich das Zerlegen eines Signals sein kann:

 

      • Durch das Zerlegen von Schallwellen können Sie wählen, welche Frequenz - oder welchen Sender - Sie hören möchten.
      • Wenn Sie Schallwellen in verschiedene Frequenzen wie Höhen und Tiefen zerlegen, können Sie die Töne oder Frequenzen ändern, um bestimmte Töne hervorzuheben oder Rauschen zu entfernen.
      • Wenn Sie die Schwingungen eines Erdbebens in Vibrationen verschiedener Geschwindigkeit und Stärke zerlegen, können Sie die Statik von Gebäuden so optimieren, dass die stärksten Vibrationen abgefangen werden.
      • Wenn Sie Computerdaten zerlegen, können Sie die weniger wichtigen Frequenzen ignorieren und kompaktere Darstellungen speichern, auch bekannt als Dateikomprimierung.

 

 

Zerlegen von Signalen mit Hilfe der FFT

Die Fourier-Transformation zerlegt die Zeitbereichsdarstellung eines Signals in eine Frequenzbereichsdarstellung. Der Frequenzbereich zeigt die bei unterschiedlichen Frequenzen vorhandenen Spannungen. Dies ist ein anderer Blickwinkel auf dasselbe Signal.  

 

Ein Digitizer liest einen Signalverlauf und wandelt diesen in diskrete Werte um. Aufgrund dieser Transformation kann an diesen Daten keine Fourier-Transformation durchgeführt werden. Stattdessen wird die diskrete Fourier-Transformation (DFT) verwendet, bei der als Ergebnis die Komponenten des Frequenzbereichs in Form diskreter Werte oder als Balkengrafiken ausgegeben werden. Die schnelle Fourier-Transformation (FFT) ist eine optimierte Implementierung der DFT, bei der der Berechnungsaufwand geringer ist und die ein Signal im Grunde genommen nur zerlegt.

 

Betrachten Sie das Signal in Abbildung 1. Sie sehen zwei Signale mit zwei verschiedenen Frequenzen. In diesem Fall hat das Signal zwei Spitzen im Frequenzbereich - eine an jeder der zwei Frequenzen der Sinussignale, aus denen sich das Signal ursprünglich zusammensetzt.

 

Abbildung 4. Wenn zwei Sinusschwingungen mit gleicher Amplitude hinzugefügt werden, führt das zu zwei Spitzen im Frequenzbereich.

 

 

Die Amplitude des ursprünglichen Signals wird auf der vertikalen Achse dargestellt. Beim Betrachten der zwei Signale mit verschiedenen Amplituden in Abbildung 2 oben sehen Sie, dass die höchsten Spitzen mit der Frequenz des Sinussignals mit der größten Spannung übereinstimmen. Wenn Sie das Signal im Zeitbereich betrachten, erhalten Sie eine Vorstellung vom ursprünglichen Signal, da Sie wissen, an welchen Frequenzen die Signale mit der größten Spannung auftreten.

 

Abbildung 5. Die höchste Spitze ist die Frequenz der größten Amplitude.

 

 

Ein Blick auf die Form des Signals im Frequenzbereich kann ebenfalls hilfreich sein. Lassen Sie uns beispielsweise die Rechteckschwingung im Frequenzbereich betrachten. Wir haben die Rechteckschwingung mit Hilfe vieler Sinusschwingungen mit unterschiedlichen Frequenzen erzeugt. Daher würde man viele Spitzen im Frequenzbereich erwarten - eine für jedes hinzugefügte Signal. Wenn im Frequenzbereich eine schöne Rampe dargestellt ist, wissen Sie, dass es sich beim Ursprungssignal um eine Rechteckschwingung handelt.

 

 

Abbildung 6. Der Frequenzbereich einer Rechteckschwingung hat die Form einer Rampe.

 

 

Wie sieht so etwas in der realen Welt aus? Viele Mischsignal-Oszilloskope (MSO) haben eine FFT-Funktion. Unten können Sie sehen, wie die FFT einer Rechteckschwingung auf einem Mischsignalgraphen dargestellt wird. Wenn Sie heranzoomen, können Sie die individuellen Spitzen im Frequenzbereich erkennen.

 

 

Abbildung 7. Die ursprüngliche Rechteckschwingung und die entsprechende FFT sind in der oberen Abbildung dargestellt, während es sich bei der unteren Abbildung um einen ein Ausschnitt der FFT handelt, in dem Sie individuelle Spitzen erkennen können.

 

 

Das Betrachten von Signalen im Frequenzbereich kann beim Validieren und bei der Fehlerbehebung helfen. Beispielsweise haben Sie einen Schaltkreis, bei dem eine Sinusschwingung ausgegeben werden soll. Sie sehen das Ausgangssignal auf dem Oszilloskop im Zeitbereich in Abbildung 8. Das Signal sieht gut aus.

 

Abbildung 8. Beim Addieren dieser zwei einander ähnlichen Verläufe würde sich eine perfekte Sinusschwingung ergeben.

 

 

Wenn Sie das Signal im Frequenzbereich betrachten, erwarten Sie nur eine Spitze, weil Sie als Ausgang eine einzelne Sinusschwingung mit nur einer Frequenz erwarten. Sie haben hier jedoch eine zusätzliche kleine Spitze mit einer höheren Frequenz. Daran können Sie ersehen, dass die Sinusschwingung nicht so rein wie erwartet ist. Sie können an dem Schaltkreis arbeiten, um die Ursache für das zusätzliche Rauschen zu dieser speziellen Frequenz zu eliminieren. Der Frequenzbereich ist hervorragend dazu geeignet zu zeigen, ob ein im Zeitbereich sauberes Signal evtl. doch Überlagerungen, Jitter oder Rauschen aufweist.

 

Abbildung 9. Beim Betrachten der in Abbildung 8 scheinbar perfekten Sinusschwingung sehen Sie hier, dass es Abweichungen gibt.

 

 

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Fensterfunktion

Auch wenn das Durchführen einer FFT an einem Signal viel Aufschluss geben kann, ist es wichtig, die Beschränkungen der FFT zu kennen und zu wissen, wie die Signalqualität mit Hilfe von Fensterfunktionen verbessert werden kann.

 

 

Was bedeutet Fensterfunktion?

Wenn Sie FFT zum Messen der Frequenzkomponente eines Signals verwenden, basiert die Analyse auf einem endlichen Datensatz. Die eigentliche FFT-Umwandung setzt einen endlichen Datensatz voraus - ein kontinuierliches Spektrum, bei dem es sich um eine Periode eines periodischen Signals handelt. Für die FFT sind sowohl der Zeitbereich als auch der Frequenzbereich kreisförmige Topologien, so dass dass die Endpunkte des Zeitverlaufs als verbunden interpretiert werden. Wenn das gemessene Signal periodisch ist und wenn eine ganzzahlige Anzahl von Perioden das Erfassungs-Zeitintervall füllt, ist die resultierende FFT ideal, da den Voraussetzungen entsprochen wird.


Abbildung 10. Das Messen einer ganzzahligen Anzahl von Perioden (oben) resultiert in einer idealen FFT (unten)

 

 

Oftmals handelt es sich bei dem gemessenen Signal jedoch nicht um eine ganzzahlige Periodenzahl. Daher kann die Endlichkeit des gemessenen Signals in einem abgeschnittenen Signalverlauf resultieren, bei dem sich die Charakteristiken vom ursprünglichen kontinuierlichen Zeitsignal unterscheiden, und die Endlichkeit kann zu scharfen Übergängen im gemessenen Signal führen. Diese scharfen Übergänge sind Diskontinuitäten.

 

Wenn es sich bei der Anzahl der Perioden in der Erfassung nicht um eine Ganzzahl handelt, sind die Endpunkte nicht kontinuierlich. Die künstlichen Diskontinuitäten werden in der FFT als Hochfrequenzkomponenten angezeigt, die im ursprünglichen Signal nicht vorhanden sind. Diese Frequenzen können sehr viel höher als die Nyquist-Frequenz sein und werden zwischen 0 und der Hälfte Ihrer Sample-Rate gespiegelt. Das aus der FFT-Berechnung resultierende Spektrum ist daher nicht identisch mit dem Spektrum des ursprünglichen Signals, sondern eine verlaufene Version. Die Energie einer Frequenz verläuft scheinbar in andere Frequenzen. Dieses Phänomen ist auch als spektrale Streuung bekannt, durch welche die feinen Spektrallinien als breitere Signale dargestellt werden.

 

Abbildung 11. Das Messen einer nicht ganzzahligen Periodenanzahl (oben) resultiert in spektraler Streuung in der FFT (unten).

 

 

Die Auswirkungen einer über eine nicht-ganzzahlige Periodenzahl durchgeführten FFT können mit Hilfe des Fensterverfahrens minimiert werden. Mit Hilfe der Fensterfunktionen wird die Amplitude der Diskontinuitäten an den Grenzen jeder vom Digitizer erfassten endlichen Sequenz reduziert. Dabei wird das Zeitprotokoll durch ein Fenster mit endlicher Länge multipliziert, in dem die Amplitude an den Flanken weich und graduell gegen Null variiert. Dadurch treffen die Endpunkte des Signalverlaufs zusammen, was in einem kontinuierlichen Signalverlauf ohne scharfe Übergänge resultiert. Diese Methode wird auch als Anwenden eines Fensters bezeichnet.

 

Abbildung 12: Durch Anwenden eines Fensters wird der Effekt der spektralen Streuung minimiert.

 

 

Fensterfunktionen

Es gibt verschiedene Fensterfunktionen, die abhängig von der Art des Signal angewandt werden können. Um zu verstehen, wie ein vorhandenes Fenster das Frequenzspektrum beeinflusst, müssen Sie die Frequenzcharakteristiken von Fensterfunktionen verstehen.

 

Der Plot eines Fensters zeigt, dass es sich bei der Frequenzcharakteristik eines Fensters um ein kontinuierliches Spektrum mit einer Hauptkeule und mehreren Nebenkeulen handelt. Die Hauptkeule ist in der Mitte bei jeder Frequenzkomponente des Zeitsignals zu finden und die Nebenkeulen bewegen sich gegen Null. Die Höhe der Nebenkeulen zeigt die Auswirkung an, die die Fensterfunktion auf Frequenzen um die Hauptkeulen herum hat. Die Nebenkeulenantwort eines starken sinusförmigen Signals kann stärker sein als die Hauptkeulenantwort des benachbarten schwachen sinusförmigen Signals. Typischerweise reduzieren die unteren Nebenkeulen zwar die Streuung in der gemessenen FFT, erhöhen jedoch die Bandbreite der Hauptkeule. Die Roll-Off-Rate der Nebenkeulen ist die asymptotische Abfallrate der Spitzenwerte der Nebenkeulen. Durch das Erhöhen der Roll-Off-Rate der Nebenkeulen können Sie die spektrale Streuung reduzieren.

 

Die Auswahl einer Fensterfunktion ist keine einfache Aufgabe. Die verschiedenen Fensterfunktionen haben ihre eigenen Charakteristiken und sind für unterschiedliche Anwendungen geeignet. Sie müssen zunächst den Frequenzinhalt des Signals einschätzen, um eine Fensterfunktion wählen zu können.

      • Wenn das Signal starke störende Frequenzkomponenten enthält, die weit von der zu untersuchenden Frequenz abweichen, wählen Sie ein glättendes Fenster mit einer hohen Nebenkeulen-Roll-Off-Rate.
      • Wenn das Signal starke störende Frequenzkomponenten enthält, die nahe an der zu untersuchenden Frequenz liegen, wählen Sie ein Fenster mit einem niedrigen maximalen Nebenkeulenpegel.
      • Wenn die zu untersuchende Frequenz zwei oder mehr nahe beieinander liegende Signale enthält, ist Spektralauflösung wichtig. In diesem Fall ist ein glättendes Fenster mit einer sehr schmalen Hauptkeule geeignet.
      • Wenn die Amplitudengenauigkeit eines einzelnen Frequenzanteils wichtiger ist als die exakte Position der Komponente in einer Frequenz, bietet sich ein Fenster mit einer breiten Hauptkeule an.
      • Wenn das Signalspektrum ziemlich flach ist oder ein Breitband-Frequenzinhalt vorliegt, verwenden Sie den gleichförmigen Filter oder gar kein Fenster.
      • Das Hanning-Fenster (Hann) führt in 95 Prozent aller Fälle zu guten Resultaten. Es bietet eine gute Frequenzauflösung und reduziert die spektrale Streuung. Wenn Sie ein glättendes Fenster anwenden möchten, aber die Art des Signals nicht genau kennen, beginnen Sie mit dem Hann-Fenster.

 

Selbst wenn Sie kein Fenster anwenden, wird das Signal mit einem rechteckigen Fenster uniformer Höhe gefaltet, was an der Natur des diskreten Signals und an der Momentaufnahme des Eingangssignals liegt. Diese Faltung hat das charakteristische Spektrum einer Sinusfunktion. Aus diesem Grund wird das Anwenden keines Fensters oft trotzdem als Rechteckfenster oder gleichförmiges Fenster bezeichnet, da trotzdem ein Fenstereffekt vorliegt.

 

Sowohl die Hamming- als auch Hann-Fensterfunktion haben eine Sinusform. Beide Fenster haben im Ergebnis eine breite Spitze und niedrige Nebenkeulen. Das Hann-Fenster erreicht jedoch an beiden Enden Null und eliminiert dadurch jegliche Diskontinuität. Das Hamming-Fenster reicht nicht ganz bis null, woraus eine geringe Diskontinuität im Signal resultiert. Aufgrund dieses Unterschieds ist das Hamming-Fenster zwar gut für das Unterdrücken der nächstgelegenen Nebenschwingung geeignet, aber nicht so gut für das Unterdrücken weiterer Nebenkeulen. Diese Fensterfunktionen sind für Rauschmessungen nützlich, bei denen eine bessere Frequenzauflösung als bei einigen anderen Fenster erwünscht ist, bei denen moderate Nebenkeulen jedoch kein Problem darstellen.

 

 

Abbildung 13. Hamming- und Hann-Fensterfunktion resultiert in einer breiten Spitze und in schönen niedrigen Nebenkeulen.

 

 

Das Blackman-Harris-Fenster ist dem Hamming- und Hann-Fenster ähnlich. Das resultierende Spektrum hat zwar eine breite Spitze, jedoch eine gute Nebenkeulen-Kompression. Dies sind die zwei wichtigsten Arten von Fenstern. Das 4-gliedrige Blackman-Harris ist ein gutes Allzweck-Fenster, mit einer Nebenkeulen-Unterdrückung im hohen 90-dB-Bereich und einer moderat breiten Hauptkeule. Das 7-gliedrige Blackmann-Harris-Fenster hat einen größeren dynamischen Bereich, als Sie in der Regel benötigen, und zusätzlich eine breite Hauptkeule.

 

Abbildung 14. Das Blackmann-Harris-Fenster resultiert in einer breiten Spitze und einer guten Nebenkeulen-Kompression.

 

 

Das Kaiser-Bessel-Fenster bietet eine gute Balance zwischen widersprüchlichen Zielen wie Amplitudengenauigkeit, Nebenkeulenabstand und Nebenkeulenhöhe. Es ist zwar ungefähr mit der Blackman-Harris-Fensterfunktion vergleichbar, weist jedoch bei der gleichen Hauptkeulenbreite höhere nächstgelegene Nebenkeulen und niedrigere Nebenkeulen bei den entfernt gelegenen Keulen auf. Dieses Fenster zeigt oft nahe am Grundrauschen gelegene Signale an.

 

Das Flat-Top-Fenster ist ebenfalls sinusförmig, überquert allerdings die Null-Linie. Daraus resultiert eine viel breitere Spitze im Frequenzbereich, die näher an der tatsächlichen Amplitude des Signals liegt, als bei den anderen Fenstern der Fall ist.

 

Abbildung 15. Das Flat-Top-Fenster gibt eine genauere Amplituden-Information aus.

 

 

Dies sind nur einige der möglichen Fensterfunktionen. Es gibt bei der Auswahl einer Fensterfunktion keinen allgemeingültigen Ansatz. Die nachstehende Tabelle gibt einen ersten Überblick, der bei der Auswahl behilflich sein kann. Vergleichen Sie immer die Leistung verschiedener Fensterfunktionen, um die für Ihre Anwendung geeignete Funktion zu finden.

 

 

 

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Zusammenfassung 

  • Alle Signale im Zeitbereich können durch eine Serie von Sinusschwingungen dargestellt werden.
  • Eine FFT-Transformation zerlegt eine Zeitbereichsdarstellung eines Signals in die Frequenzbereichsdarstellung, um die verschiedenen Frequenzen zu analysieren.
  • Der Frequenzbereich ist hervorragend geeignet, zu zeigen, ob ein im Zeitbereich sauberes Signal evtl. doch Rauschen, Jitter oder Überlagerungen enthält.
  • Spektrale Streuung wird durch Uneinheitlichkeiten in der ursprünglichen, nicht ganzzahligen Periodenanzahl im Signal verursacht und kann durch Fensterfunktionen verbessert werden.
  • Mit Hilfe der Fensterfunktionen wird die Amplitude der Diskontinuitäten an den Grenzen jeder vom Digitizer erfassten endlichen Sequenz reduziert.
  • Bei der Verwendung keines Fensters wird oft von einem Rechteckfenster oder Einheitsfenster gesprochen, weil trotzdem ein Fenstereffekt vorliegt.
  • Im Allgemeinen resultiert das Hanning-Fenster in 95 Prozent aller Fälle in zufriedenstellenden Ergebnissen. Es bietet eine gute Frequenzauflösung und reduzierte spektrale Streuung.
  • Vergleichen Sie immer die Leistung verschiedener Fensterfunktionen, um die für Ihre Anwendung geeignet Funktion zu finden.

 

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Zusätzliche Ressourcen zu Instrumenten

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Oszilloskope für automatisiertes Testen
Oszilloskope sind ein wesentlicher Bestandteil von vielen Anwendungen und somit eine Notwendigkeit für automatisierte Testsysteme. Sie sollten eine modulare Lösung in Erwägung ziehen, wenn Ihre Anwendung das Messen, Analysieren und Verarbeiten von Daten, einen schnellen Datendurchsatz oder wenig Platz und geringen Stromverbrauch erfordert.

 

Eine vollständige Liste mit Anleitungen finden Sie auf der Hauptseite zu den Instrument Fundamentals.
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