Grundlegendes zu FFTs und Fensterfunktionen

Die Fourier-Transformation kann hilfreich sein, um alltägliche Signale zu verstehen und Fehler in Signalen zu beheben. Obwohl es sich bei der Fourier-Transformation um eine komplizierte mathematische Funktion handelt, ist das Konzept nicht kompliziert und steht im Zusammenhang mit Ihren gemessenen Signalen. Im Wesentlichen wird ein Signal in Sinusschwingungen unterschiedlicher Amplituden und Frequenzen zerlegt. Lassen Sie uns einen genaueren Blick darauf werfen, was dies bedeutet und warum dies nützlich ist. 

Alle Signale sind die Summe von Sinus

Bei der Betrachtung von realen Signalen handelt es sich normalerweise um eine Spannung, die sich im Laufe der Zeit ändert. Dies wird als Zeitbereich bezeichnet. Der Satz von Fourier besagt, dass jeder Signalverlauf im Zeitbereich durch die gewichtete Summe von Sinus und Cosinus dargestellt werden kann. Nehmen Sie beispielsweise zwei Sinusschwingungen, von denen die eine dreimal so schnell ist wie die andere bzw. die Frequenz 1/3 des ersten Signals beträgt. Wenn Sie sie addieren, sehen Sie, dass Sie ein anderes Signal erhalten.

^{Abbildung 1: Wenn Sie zwei Signale addieren, erhalten Sie ein neues Signal.} 

Stellen Sie sich nun vor, diese zweite Welle wäre ebenfalls 1/3 der Amplitude. Diesmal sind nur die Spitzenwerte betroffen.

^{Abbildung 2: Das Anpassen der Amplitude beim Hinzufügen von Signalen beeinflusst die Spitzenwerte.}

Stellen Sie sich vor, Sie haben ein drittes Signal hinzugefügt, das 1/5 der Amplitude und Frequenz des ursprünglichen Signals hat. Wenn Sie auf diese Weise fortfahren, bis Sie das Grundrauschen erreichen, können Sie den resultierenden Signalverlauf erkennen.

^{Abbildung 3: Eine Rechteckschwingung ist die Summe von Sinus.}

Sie haben nun eine Rechteckschwingung erzeugt. Auf diese Weise können alle Signale im Zeitbereich durch eine Reihe von Sinussignalen dargestellt werden.

Obwohl es ziemlich praktisch ist, dass Signale auf diese Weise konstruiert werden können, stellt sich die Frage, warum Sie das eigentlich interessiert. Denn wenn ein Signal mit Hilfe von Sinus konstruiert werden kann, können Sie Signale auch in Sinussignale zerlegen. Nach der Zerlegung eines Signals können Sie die verschiedenen Frequenzen des Originalsignals anzeigen und analysieren. Sehen Sie sich einige Beispiele an, bei denen sich die Zerlegung eines Signals als nützlich erwiesen hat:

• Wenn Sie Funkwellen zerlegen, können Sie auswählen, welcher Frequenz bzw. welchem Sender Sie zuhören möchten.
• Wenn Sie Audiowellen in verschiedene Frequenzen wie Bässe und Höhen zerlegen, können Sie die Schwingungen oder Frequenzen ändern, um bestimmte Töne zu verstärken und unerwünschtes Rauschen zu entfernen.
• Wenn Sie Erdbebenschwingungen unterschiedlicher Geschwindigkeit und Stärke zerlegen, können Sie die Gebäudekonstruktion so optimieren, dass die stärksten Schwingungen vermieden werden.
• Wenn Sie Computerdaten zerlegen, können Sie die am wenigsten wichtigen Frequenzen ignorieren und im Speicher kompaktere Darstellungen erstellen. Dies wird auch als Dateikomprimierung bezeichnet.

Zerlegen von Signalen mit Hilfe der Fourier-Transformation (FFT)

Die Fourier-Transformation zerlegt eine Zeitbereichsdarstellung eines Signals in die Frequenzbereichsdarstellung. Der Frequenzbereich zeigt die Spannungen an, die bei unterschiedlichen Frequenzen anliegen. Es ist eine andere Art, dasselbe Signal zu betrachten. 

Ein A/D-Wandler tastet einen Signalverlauf ab und wandelt ihn in diskrete Werte um. Aufgrund dieser Transformation funktioniert die Fourier-Transformation bei diesen Daten nicht. Stattdessen wird die Diskrete Fourier-Transformation (DFT) verwendet, die als Ergebnis die Frequenzbereichskomponenten in diskreten Werten oder Binärwerten erzeugt. Die schnelle Fourier-Transformation (FFT, Fast Fourier Transformation) ist eine optimierte Implementierung einer DFT, die weniger Rechenaufwand erfordert, aber im Wesentlichen nur ein Signal zerlegt.

Schauen Sie sich das Signal aus Abbildung 1 oben an. Es gibt zwei Signale mit zwei unterschiedlichen Frequenzen. In diesem Fall weist das Signal zwei Spitzen im Frequenzbereich auf – eine bei jeder der beiden Sinusfrequenzen, aus denen das Signal ursprünglich besteht.

^{Abbildung 4: Die Addition von zwei Sinusschwingungen gleicher Amplitude führt zu zwei Spitzen im Frequenzbereich.}

Auf der vertikalen Achse ist die Amplitude des ursprünglichen Signals dargestellt. Wenn Sie sich das Signal aus Abbildung 2 oben ansehen, bei dem zwei verschiedene Signale mit unterschiedlichen Amplituden vorhanden sind, können Sie sehen, dass die auffälligste Spitze der Frequenz des Sinussignals mit der höchsten Spannung entspricht. Wenn Sie ein Signal im Zeitbereich betrachten, können Sie sich ein gutes Bild vom ursprünglichen Signal machen, wenn Sie wissen, bei welchen Frequenzen die größten Spannungssignale auftreten.

^{Abbildung 5: Die höchste Spitze ist die Frequenz mit der größten Amplitude.}

Es kann auch hilfreich sein, die Form des Signals im Frequenzbereich zu untersuchen. Schauen wir uns zum Beispiel die Rechteckschwingung im Frequenzbereich an. Wir haben die Rechteckschwingung aus vielen Sinusschwingungen mit unterschiedlichen Frequenzen erzeugt. Daher würden Sie im Frequenzbereich viele Spitzen erwarten – eine für jedes hinzugefügte Signal. Wenn Sie im Frequenzbereich eine schöne Rampe sehen, wissen Sie, dass das ursprüngliche Signal eine Rechteckschwingung war.

^{Abbildung 6: Der Frequenzbereich einer Sinusschwingung sieht wie eine Rampe aus.}

Wie sieht dies in der realen Welt aus? Viele Mixed-Signal-Oszilloskope (MSO) verfügen über eine FFT-Funktion. Unten sehen Sie, wie die FFT einer Rechteckschwingung in einem Mixed-Signal-Graphen aussieht. Wenn Sie hineinzoomen, können Sie die einzelnen Spitzen im Frequenzbereich tatsächlich sehen.

^{Abbildung 7: Die ursprüngliche Sinusschwingung und die zugehörige FFT werden in A angezeigt. B ist ein vergrößerter Ausschnitt der FFT, in dem Sie die einzelnen Spitzen sehen können.}

Die Untersuchung von Signalen im Frequenzbereich kann bei der Validierung und Fehlerbehebung von Signalen hilfreich sein. Sie haben beispielsweise eine Schaltung, die eine Sinusschwingung ausgeben soll. In Abbildung 8 unten sehen Sie das Ausgangssignal des Oszilloskops im Zeitbereich. Es sieht ziemlich gut aus!

^{Abbildung 8: Wenn man diese beiden Wellen addiert, würden sie wie eine perfekte Sinuswelle aussehen, weil sie sich so ähnlich sind.}

Wenn Sie das Signal im Frequenzbereich betrachten, erwarten Sie jedoch nur eine Spitze, da Sie erwarten, dass bei einer Frequenz nur eine einzelne Sinusschwingung ausgegeben wird. Sie können jedoch sehen, dass bei einer oberen Frequenz eine kleinere Spitze auftritt. Das bedeutet, dass die Sinusschwingung nicht so gut ist, wie Sie dachten. Sie können mit dem Schaltplan arbeiten, um die Ursache für das bei dieser bestimmten Frequenz hinzugefügte Rauschen zu beseitigen. Der Frequenzbereich zeigt an, ob ein sauberes Signal im Zeitbereich tatsächlich Übersprechen, Rauschen oder Jitter enthält.

^{Abbildung 9: Wenn Sie sich die scheinbar perfekte Sinusschwingung aus Abbildung 8 ansehen, können Sie sehen, dass tatsächlich ein Störimpuls vorliegt.}

Obwohl die Durchführung einer FFT an einem Signal einen guten Einblick geben kann, ist es wichtig, die Grenzen der FFT zu kennen und zu wissen, wie die Signalklarheit durch Fensterfunktionen verbessert werden kann.

Was sind Fensterfunktionen?

Wenn Sie die Frequenzkomponente eines Signals mit der FFT messen, basiert die Analyse auf einem endlichen Datensatz. Die eigentliche FFT-Transformation geht davon aus, dass es sich um einen endlichen Datensatz handelt, ein kontinuierliches Spektrum, das eine Periode eines periodischen Signals darstellt. Bei der FFT sind sowohl der Zeitbereich als auch der Frequenzbereich kreisförmige Topologien, sodass die beiden Endpunkte des Zeitverlaufs so interpretiert werden, als wären sie miteinander verbunden. Wenn das gemessene Signal periodisch ist und eine ganzzahlige Anzahl von Perioden das Erfassungszeitintervall ausfüllt, ist die FFT einwandfrei, da sie dieser Annahme entspricht.

^{Abbildung 10: Die Messung einer ganzzahligen Anzahl von Perioden (A) ergibt eine ideale FFT (B).}

Oftmals ist das gemessene Signal jedoch keine ganzzahlige Anzahl von Perioden. Daher kann die Endlichkeit des gemessenen Signals zu einem reduzierten Signalverlauf mit anderen Eigenschaften als das ursprüngliche zeitkontinuierliche Signal führen. Die Endlichkeit kann dabei zu scharfen Übergangsänderungen im gemessenen Signal führen. Die scharfen Übergänge sind Unstetigkeiten.

Wenn die Anzahl der Perioden in der Erfassung keine Ganzzahl ist, sind die Endpunkte unstetig. Diese künstlichen Unstetigkeiten zeigen sich in der FFT als Hochfrequenzanteile, die im ursprünglichen Signal nicht vorhanden sind. Diese Frequenzen können viel höher sein als die Nyquist-Frequenz und haben einen Alias-Wert zwischen 0 und der Hälfte Ihrer Sample-Rate. Das aus der FFT-Berechnung resultierende Spektrum ist daher nicht identisch mit dem Spektrum des ursprünglichen Signals, sondern eine „verwischte“ Version. Die Energie einer Frequenz sickert scheinbar in andere Frequenzen. Dieses Phänomen wird als spektrale Streuung bezeichnet, die dazu führt, dass sich die feinen Spektrallinien in breitere Signale ausbreiten.

^{Abbildung 11: Das Messen einer nicht-ganzzahligen Anzahl von Perioden (A) addiert die spektrale Streuung zur FFT (B).} 

Die Auswirkungen einer über eine nicht-ganzzahlige Periodenzahl durchgeführten FFT kann mit Hilfe der Fensterfunktionen minimiert werden. Mit Hilfe der Fensterfunktion wird die Amplitude der Unstetigkeiten an den Grenzen jeder endlichen Sequenz, die vom A/D-Wandler erfasst wurde, reduziert. Dabei wird das Zeitprotokoll durch ein Fenster mit endlicher Länge multipliziert, in dem die Amplitude an den Flanken weich und graduell gegen Null variiert. Dadurch treffen sich die Endpunkte des Signalverlaufs und es entsteht ein kontinuierlicher Signalverlauf ohne scharfe Übergänge. Dieses Verfahren wird auch als Anwenden eines Fensters bezeichnet.

^{Abbildung 12: Durch Anwenden eines Fensters wird der Effekt der spektralen Streuung minimiert.}

Fensterfunktionen

Es gibt verschiedene Arten von Fensterfunktionen, die je nach Signal angewendet werden können. Um zu verstehen, wie sich ein bestimmtes Fenster auf das Frequenzspektrum auswirkt, müssen Sie mehr über die Frequenzeigenschaften von Fenstern wissen. 

Die tatsächliche Darstellung eines Fensters zeigt, dass die Frequenzcharakteristik eines Fensters ein kontinuierliches Spektrum mit einer Hauptkeule und mehreren Nebenkeulen ist. Die Hauptkeulen sind bei jeder Frequenzkomponente des Zeitbereichssignals zentriert, und die Nebenkeulen gehen gegen Null. Die Höhe der Nebenkeulen gibt an, wie sich die Fensterfunktion auf die Frequenzen in der Nähe der Hauptkeulen auswirkt. Die Nebenkeulenantwort eines starken sinusförmigen Signals kann stärker sein als die Hauptkeulenantwort des benachbarten schwachen sinusförmigen Signals. Typischerweise verringern niedrige Nebenschwingungen den Streuverlust in der gemessenen FFT, erhöhen jedoch die Bandbreite der Hauptkeulen. Die Nebenkeulen-Roll-off-Rate ist die asymptotische Abklingrate der Spitzenwerte der Nebenkeulen. Durch Erhöhen der Nebenkeulen-Roll-off-Rate kann die spektrale Streuung reduziert werden.

Die Auswahl einer Fensterfunktion ist nicht einfach. Jede Fensterfunktion hat ihre eigenen Eigenschaften und Eignungen für unterschiedliche Anwendungen. Um eine Fensterfunktion auszuwählen, muss der Frequenzinhalt des Signals geschätzt werden.

• Wenn das Signal starke störende Frequenzkomponenten enthält, die von der Frequenz von Interesse entfernt sind, wählen Sie ein Glättungsfenster mit einer hohen Nebenkeulen-Roll-off-Rate.
• Wenn das Signal starke Störsignale in der Nähe der Frequenz von Interesse enthält, wählen Sie eine Fensterfunktion mit einem niedrigen maximalen Nebenkeulenpegel aus.
• Wenn die Frequenz von Interesse zwei oder mehr Signale enthält, die sehr nahe beieinander liegen, ist die spektrale Auflösung wichtig. In diesem Fall ist es am besten, ein Glättungsfenster mit einer sehr schmalen Hauptkeule zu wählen.
• Wenn die Amplitudengenauigkeit eines einzelnen Frequenzanteils wichtiger ist als die genaue Position der Komponente in einem bestimmten Frequenzbereich, wählen Sie ein Fenster mit einer breiten Hauptkeule.
• Wenn das Signalspektrum eher flach oder breitbandig ist, verwenden Sie das einheitliche Fenster oder kein Fenster.
• Im Allgemeinen ist das Hann-Fenster in 95 Prozent der Fälle zufriedenstellend. Es hat eine gute Frequenzauflösung und eine reduzierte spektrale Streuung. Wenn Sie die Art des Signals nicht kennen, aber ein Glättungsfenster anwenden möchten, beginnen Sie mit dem Hann-Fenster.

Auch wenn Sie kein Fenster verwenden, wird das Signal mit einem rechteckigen Fenster mit gleichmäßiger Höhe gefaltet, da eine Momentaufnahme des Eingangssignals erstellt und mit einem diskreten Signal gearbeitet wird. Diese Faltung hat ein charakteristisches Spektrum einer Sinusfunktion. Aus diesem Grund wird kein Fenster oft als gleichförmiges oder Rechteck-Fenster bezeichnet, da es immer noch einen Fenstereffekt gibt.

Die Hamming- und Hann-Fensterfunktionen haben beide eine Sinusform. Beide Fenster führen zu einem breiten Spitzenwert, aber niedrigen Nebenschwingungen. Das Hann-Fenster berührt jedoch an beiden Enden Null, wodurch alle Diskontinuitäten beseitigt werden. Das Hamming-Fenster erreicht nicht ganz Null und weist daher immer noch eine leichte Unstetigkeit im Signal auf. Aufgrund dieses Unterschieds löscht das Hamming-Fenster die nächste Nebenkeule besser, alle anderen jedoch schlechter. Diese Fensterfunktionen sind nützlich für Rauschmessungen, bei denen eine bessere Frequenzauflösung als bei einigen anderen Fenstern erwünscht ist, aber mäßige Nebenkeulen kein Problem darstellen.

^{Abbildung 13: Die Hamming- und Hann-Fenster ergeben einen breiten Spitzenwert, aber gute niedrige Nebenschwingungen.}

Das Blackman-Harris-Fenster ähnelt den Hamming- und Hann-Fenstern. Das resultierende Spektrum hat einen breiten Spitzenwert, aber eine gute Nebenkeulenkompression. Es gibt zwei Haupttypen dieses Fensters. Das 4-gliedrige Blackman-Harris-Fenster ist ein gutes Allzweckfenster mit einer Nebenkeulenunterdrückung im hohen 90er-dB-Bereich und einer mäßig breiten Hauptkeule. Die 7-gliedrige Blackman-Harris-Fensterfunktion bietet den erforderlichen Dynamikbereich, verfügt jedoch über eine breite Hauptkeule.

^{Abbildung 14: Blackman-Harris erzeugt einen breiten Spitzenwert, aber eine gute Nebenkeulenkompression.}

Ein Kaiser-Bessel-Fenster schafft ein Gleichgewicht zwischen den verschiedenen Zielkonflikten hinsichtlich Amplitudengenauigkeit, Nebenkeulenabstand und Nebenkeulenhöhe. Es ist ungefähr vergleichbar mit den Fensterfunktionen von Blackman-Harris, aber bei gleicher Breite der Hauptkeulen sind die nahen Nebenkeulen tendenziell höher, die weiter außen liegenden Nebenkeulen jedoch niedriger. Bei Auswahl dieses Fensters werden häufig Signale nahe dem Grundrauschen angezeigt.

Das Flat-Top-Fenster ist ebenfalls sinusförmig, schneidet jedoch tatsächlich die Nulllinie. Dies führt zu einem viel breiteren Spitzenwert im Frequenzbereich, der näher an der echten Amplitude des Signals liegt als bei anderen Fenstern. 

^{Abbildung 15: Das Flat-Top-Fenster liefert genauere Amplitudeninformationen.} 

Dies sind nur einige der möglichen Fensterfunktionen. Es gibt keinen universellen Ansatz für die Auswahl einer Fensterfunktion. Die folgende Tabelle kann Ihnen jedoch bei Ihrer ersten Auswahl helfen. Vergleichen Sie immer die Leistung verschiedener Fensterfunktionen, um die beste für Ihre Anwendung zu finden.

• Alle Signale im Zeitbereich können durch eine Reihe von Sinussignalen dargestellt werden.
• Eine FFT-Transformation zerlegt eine Zeitbereichsdarstellung eines Signals in die Frequenzbereichsdarstellung, um die verschiedenen Frequenzen in einem Signal zu analysieren.
• Der Frequenzbereich zeigt an, ob ein sauberes Signal im Zeitbereich tatsächlich Übersprechen, Rauschen oder Jitter enthält.
• Die spektrale Streuung wird durch Unstetigkeiten in der ursprünglichen, nicht ganzzahligen Anzahl von Perioden in einem Signal verursacht und kann durch Fenster verbessert werden.
• Mit Hilfe der Fensterfunktion wird die Amplitude der Unstetigkeiten an den Grenzen jeder endlichen Sequenz, die vom A/D-Wandler erfasst wurde, reduziert.
• Kein Fenster wird oft als gleichförmiges oder Rechteck-Fenster bezeichnet, da es immer noch einen Fenstereffekt gibt.
• Im Allgemeinen ist das Hann-Fenster in 95 Prozent der Fälle zufriedenstellend. Es hat eine gute Frequenzauflösung und eine reduzierte spektrale Streuung.
• Sie sollten die Leistung verschiedener Fensterfunktionen vergleichen, um die beste für Ihre Anwendung zu finden.

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